1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列曲线积分中，在区域 D：x 2+y20 上与路径无关的有 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 交换积分次序 1edx0lnxf(x，y)dy 为( )（A） 0edy0lnx)f(x，y)dx（B） dy01f(x，y)dx（C） 0lnxdy1ef(x，y)dx（D） 01dy f(x，y)dx3 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=xy+ ，其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于( )（A）xy（B）
2、 2xy（C） xy+ （D）xy+14 f(rcos，rsin)rdr(a 0)，则积分域为( )（A）x 2+y2a2（B） x2+y2a2(x0)（C） x2+y2ax（D）x 2+y2ax(y0)5 设 f(x，y)在 D：x 2+y2a2 上连续，则 ( )（A）不一定存在（B）存在且等于 f(0，0)（C）存在且等于 f(0，0)（D）存在且等于 f(0， 0)6 设 I= ，其中 D 由不等式(x一 1)2+(y 一 1)22 所确定，则 ( )（A）I 1I 3 I1（B） I1I 2I 3（C） I3I 1I 2（D）I 3I 2 I17 设平面 D 由 x+y= ，x+y=
3、1 及两条坐标轴围成，I 1=sin(x+y)3dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I1二、填空题8 设 =(x，y，z)x 2+y2z1，则 的形心的竖坐标 =_9 设 对 x 轴的转动惯量Iz=_10 设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 a 的单位质点A 的引力为_11 将 01dy0yf(x2+y2)dx 化为极坐标下的二次积分为 _12 D 是圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域，则 =_13 积分 =_14 交换二次积分的积分次序 10dy21yf(x，y)dx=_。15 积
4、分 =_16 D 是顶点分别为(0，0)，(1，0) ，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 (1+x)sinyd=_17 交换积分次序 =_18 设是锥面 z= +2ydzdx+3(z 一 1)dxdy=_19 设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 min(x，y)dxdy=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设有一高度为 h(t)(t 为时间) 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)一(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 09)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间?21 计算二重积分
5、 ，其中 D=(x，y)0x1，0y122 设函数 f(x)在 R 上具有一阶连续导数，L 是上半平面 (y0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a，b)，终点为(c，d)记(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关(2)当 ab=cd 时，求 I 的值23 已知平面区域 D=(x，y)0x，0y，L 为 D 的正向边界试证： (1) Lxesinydyyesinxdx=Lxesinydtyesinxdx (2) Lxesinydyyesinxdx2224 设函数 f(x)连续且恒大于零，其中 (t)=x，y，z)x 2+y2+z2t2，D(t)=(x ，y)x 2+y2t2 (1) 讨论 F(t)
6、在区间(0，+) 内的单调性 (2)证明当 t 0 时，F(t) G(t)25 计算曲面积分 I= 2x3dydz+2y3dzdx+3(z2 一 1)dxdy，其中 是曲面 z=1 一 x2 一y2(z0)的上侧26 设 D：(x，y)x 2+y ，x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数计算二重积分 1+x2+y2dxdy27 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数(1)证明对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 =0(2)求函数 (y)的表达式28 设区域 D=(x，y) x 2+y21，
7、x0 ，计算二重积分 I= 。29 设在上半平面 D=(x，y)y0 内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t0 都有 f(tx，ty)=t 2 一 f(x，y) 证明对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 Lyf(x，y)dx 一 xf(x，y)dy=0 30 计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxcdy，其中为曲面 z=1 一 x2 一(0z1)的上侧。31 计算曲线积分 Lsin2xdx+2(x2 一 1)ydy，其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0) 的一段32 计算曲面积分 I= ，其中是曲面 2x2+2y2+z2=4
8、的外侧33 设 P 为椭球面 S：x 2+y2+z2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 的切平面与 xOy 面垂直，求 P 点的轨迹 C，并计算曲面积分 其中是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分34 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0， (x，y)dxdy=a，其中 D=(x，y) 0x1，0y1，计算二重积分 I= xyf“xy(x，y)dxdy考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 对于 成立，但不能断定该曲线积分在。内与路径
9、无关，因为 D 不是单连通域，而【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得 1edx0lnxf(x，y)dy= 【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=acos 知 r2=arcos，即 x2+y2=ax(a0)，而且 ，故选 C【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 同一积分域上二重积分大小的比较，只要比较被积函数的大小，而被积函数为同一函数 是大于 1 还是小于 1
10、由于直线 =1 与圆(x 一 1)2+(y 一 1)2=2 在点(2，2)处相切，则在区域D：(x 一 1)2+(y 一 1)22 上， ，则I1I 2I 3故选 B 【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D 上 0x+y1，则 ln(x+y)30，0sin(x+y) 3(x+y) 3，从而有 ，故选 C。【知识模块】 多元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 如图 63 所示取 L 为 x 轴，y 轴过点 A，在 L 上任意取
11、小线段x，x+dx ，它对点 A 的引力沿 y 轴方向分量为 dFy=【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 如图 64 所示，则有【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域可用极坐标表示为【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 (1 一 e4)【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 12dx01xf(x，y)dy【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D：一 1y0，1 一yx2(如图 65 所示)则有【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 1 一 sin1【试
12、题解析】 =01(1 一 y)sinydy=1 一 sin1【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 +sin1+cos12sin2 一 cos2【试题解析】 积分区域可以表示为 D=(x，y)0y1+x ，0x1 ，则 (1+x)sinyd=01dx01+x(1+x)sinydy=01(1+x)一(1+x)cos(1+x)dx 利用换元法，令1+x=t，x 0，1时，t1，2，则 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，积分区域如图 66 所示，则有【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 2【试题解析】 设 1：x=1，x 2+y21，取法向量
13、方向朝上，则 与 1，围成的区域为V，那么【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的体积为 V(t)，侧面积为 S(t)先求 S(t)与 V(t)的表达式因此，高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 D 是正方形区域如图 69 所示因在 D 上被积函数分块表示【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 (1)易知 Pdx+Qdy 存在原函数，【知识模块】 多元函数积分学23 【正
14、确答案】 (1)左边= 0esinydy0esinxdx=0(esinx+esinx)dx， 右边= 0esinydy0esinxdx=0(esinx+esinx)dx，所以【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 (1)因为0tf(r2)r2dr0tdrf(r2)dr 一 0tf(r2)rdr20 令 g(t)= 0tf(r2)r2dr0tf(r2)dr 一f(r 2)rdr2， 则 g(t)=f(t2)0tf(r2)(t 一 r)2dr0， 故 g(t)在(0，+)内单调增加 因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t0 时，有 g(t)g(0) 又 g(0)=0，故当 t0 时，
15、g(t)0 因此，当 t0时，F(t) G(t)【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 取为 xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围部分的下侧，记 为由 与1 围成的空间闭区域则故 I=2 一 3=【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 令 D1=(x，y)0x 2+y21，x0，y0， 【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 (1)如图 610 所示，将 C 分解为：C=l 1+l2，另作一条曲线 l3 围绕原点且与 C 相接，根据题设条件则有由(3)得 (y)=一 y2+C，将 (y)代入(4) 得 2y5 一 4Cy3=2y5，所以 C=0，从而 (y)=一y2
16、【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 积分区域 D 如图 611 所示因为区域 D 关于 x 轴对称，【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 在等式 f(tx，ty)=t 2f(x，y)两边对 t 求导得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=一 2t3f(x，y) 令 t=1，则 xf 1(x，y)+yf 2(x，y)=一 2f(x，y)， (*) 设 P(x，y)=yf(x， y)，Q(x，y)=一 xf(x，y)，则故由曲线积分与路径无关的定理可知，对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 Lyf(x,y)dx 一 xf(x，y)dy=0【知识模块】
17、 多元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 按曲线积分的计算公式直接计算【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 (1)切平面法向量 Fx=2x，F y=2y 一 z，F z=2zy，因与 xOy 面垂直，所以【知识模块】 多元函数积分学34 【正确答案】 首先考虑 01xff“xy(x，y)dx ，注意这里是把变量 y 看做常数的，故有 01xyf“xy(x，y)dx=y01xdfy(x，y) =xyf y(x,y) 01 一 01yfy(x,y)dx =yfy(1，y)一 01yfy(x，y)dx
18、由f(1，y)=f(x，1)=0 易知 f(1，y)=f(x，1)=0 故 xyf“ xy(x,y)dx=一 yfy(x，y)dx所以 xyf“xy(x，y)dxdy=dyxyf“ xy(x，y)dx= 一 dyyfy(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得 一 01dy01yfy(x,y)dx=一 01dx01yfy(x，y)dy 再考虑积分 01yfy(x，y)dy，注意这里是把变量戈看做常数的，故有 01yfy(x，y)dy= 01ydf(x,y) =yf(x,y) 01 一 01f(x，y)dy =一 01f(x，y)dy，因此 xyf“xy(x,y)dxdy=01dx01yfy(x,y)dy =01dx01f(x,y)dy = f(x,y)dxdy=a【知识模块】 多元函数积分学
