1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 237 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中正确的是 设 ann 与 bnn 有相同的收敛域(R，R)，则(anb b)n 的收敛域为(R，R)； 设 ann 与 bnn 的收敛域分别为1， 1)，(2，2)，则 (a nb n)n 的收敛域为1，1)； 若幂级数 ann的收敛区间(R，R)即它的收敛域，则 的收敛域可能是R，R； 若幂级数 ann 的收敛域为R，R，则幂级数 nann-1 的收敛域为R，R（A）（B） （C） （D）2 下列级数中发散的是（A）（B）（C） 1 (0，1) （D）正项级数互 u
2、n，其中 un 满足 v n-1a0(n1，2，3，)，v n是正数列二、填空题3 设有极坐标系下的累次积分 J d0sinf(rcos，rsin)rdr， ()将 J 写成直角坐标系下先对 y 后对 积分的累次积分则是 J_； ()将 J 改成先对 后对 r积分的累次积分则是 J_4 设 (，y，z) 2 y2z 2R2， ， ， 为常数，则 I (2y 2z 2)dV_5 设曲线 L 为 24y 21，则曲线积分 Lyds_6 ()设 S 是球面(a) 2(yb) 2(z c) 2R 2 的上半部分，取上侧，则J dydzydzdzddy_； ( )设 S 是球面2y 2z 22a2ay
3、2aza 20(a 0 为常数)，则 J (yz )dS_ 7 由级数的敛散性确定下列参数的取值范围： ()若 收敛，则 a 满足_； () 级数若 收敛，则 满足_8 设 f() 则其以 2 为周期的傅氏级数 ()在 处收敛于_； () 在 0 处收敛于_； ()在 1 处收敛于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 a0 为常数，求积分 I (y)ddy，其中 D 由直线a，0，ya，ya 及曲线 2y 2a 所围10 求二次积分 I11 设 f()连续， (R)(，y，z) 2y 2z 22Ry，R0 ()将三重积分 If(z)dV 化为定积分； ()求 J12 设
4、是由 yz 平面内 z0，z 2 以及 y2(z1) 21 所围成的平面区域绕 z 轴旋转而成的空间区域求三重积分，I (2y 2)dV13 计算三重积分 I (yz) 2dV，其中 ()(，y，z) 2y 2z 24，z； ( )(，y，z) 2y 2z 24， 2y 2z 24z14 设 (y)有连续导数，L 为半圆周： (y)，从点O(0，0)到点 A(，)方向 (见图 251)，求曲线积分 I L(y)cosyd(y)sin1dy15 设函数 u(，y)，v(，y)具有一阶连续偏导数，且满足 C 为包围原点的正向闭曲线证明： ()(vyu)a(u yv)dy (vyu)d (uyv)d
5、y， 其中Cr 是以原点为心 r 为半径的圆周，取逆时针方向，r 充分小使 Cr 在 C 所围区域内；() (vyu)d(u yv)dy2u(0，0)16 设区域 D 由线 1：cos 3t，ysin 3t(0t，)与 轴围成，求 I yddy17 求曲面积分 I dydzy 2dzd，其中 是曲面 z 2y 2 满足 z 的部分，取下侧18 设 F(P，Q，R)( 2yz，y 2yz ，z 2y) ()求 rotF； ()求J PdQdyRdz，其中 是沿螺旋线 acos，yasin，z ，从A(a，0，0)到 B(a，0，h)的有向曲线(a0) 19 下列区域 D 上， 是否与路径无关 ?
6、 是否存在原函数?若存在，求出原函数 ()D： 2y 20； ()D：y0； ()D： 0； ()D：平面除去射线：y0，0(若存在原函数，不要求求原函数)20 设有平面力 F(，y) (P(，y)，Q(，y)，其中 P(，y)f()ye f()，Q(，y)f() ，函数 f()二阶连续可导，并满足 f(0)0，试确定 f()，使得 ()力 F 对运动质点做的功与质点运动路径无关； ( )若 L 是由点 A(1，1)到点8(1，0)逐段光滑的有向曲线，则 LPdQdy 21 求0 ，)上连续曲线 yf()0 的方程，使曲线 yf()与两坐标轴及过点(t，0)(t0)的垂直于 轴的直线所围成的曲
7、边梯形，绕 轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于 t22 求曲面 z 1 2y 2 上任一点 (0，y 0，z 0)的切平面与 z 2y 2 所围成立体 的体积，以及当( 0，y 0，z 0)(0，0，1)时 的表面积23 求一段均匀圆柱面 S： 2y 2R 2(0zh 对原点处单位质点的引力，设 S 的面密度 124 设 an ，试判断级数 an 是条件收敛还是绝对收敛或发散25 求幂级数 的收敛域26 求 的收敛域及和函数27 设 f() ln(1t)dt，求 f()的幂级数展开式28 设 f()是周期为 2 的周期函数，且 f() 写出 f()的傅氏级数与其和函数，并求级数 的和考研数
8、学一（高等数学）模拟试卷 237 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 关于选项 C：考察它添加括号后的级数记为 an 1 时，因 发散， 收敛，所以 an 发散，因添加括号后的级数发散，所以原级数也发散 01 时，a n (n)这说明an 是负项级数，比较判别法对它是适用的 因 发散 an 发散原级数发散 故应选 C【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 () ；()f(rcos，rsin)rd【试题解析】 () 将累次积分-，写成 J f(，y)d， 其中，D 的极坐标表
9、示D： ， 0rsin，于是得 D 的直角坐标形式为(如图 243(a)2y 2y(由 r2rsin 而得)，0， 即 2，0 现重新配限得 J ()在 Or 直角坐标系中(如图 243(b)， J f(rcos，rsin)rdrd 当 0 时，0 ，由 rsinsin() arcsinr，arcsinr 因此 J f(rcos，rsin)rd 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 R5()【试题解析】 由变量的轮换对称性(坐标轴名称互换，区域 不变)因此 I R5( ) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 L 关于 ，y 轴对称，L 在第一象限部分记为 L1，y对 ，y
10、均为偶函数，则 I Lyds4 yds L 1 参数方程为，又【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 () ；2R 3R 2c；()8(3 )a3【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 () a e；() (1，) 【试题解析】 () 因一般项含有阶乘，选用比值判别法记 un ，则由比值判别法知，当ae 时级数绝对收敛，从而收敛，当ae 时级数发散(此时 un 0) 当ae 时比值判别法失效，但由于故ae 时级数也发散 因此，a 满足：ae ()0 时 1(n) 原级数发散 由于 0 时， 因此， 满足： (1，)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 () ；() ；()3【试题解析】 f(
11、)满足收敛性定理条件 ( ) 是区间的端点， 时收敛于()0(，)是 f()的间断点，0 处收敛于 ()1(，) ，是 f()的连续点， 1 处收敛于 f(1)213【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 曲线 2 y2a 即圆周： ， 它的极坐标方程是 racos 积分区域 D 如图 242(a)阴影部分 由于 D 关于 轴对称，故 yddy0， ddy2 ddy， 其中 D1Dy0 将 D1 看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换，可得于是Ia 3 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 直接计算行不通，先表成 D
12、上的二重积分 I ddy， 确定积分区域 DD 1D2： D 1，y)01，1y2 ， D2，y)12，0y2， 如图 244(a)所示交换积分顺序不能解决问题，直接对累次积分 I用分部积分法时遇到求导 的困难 对内层积分作变量替换ty(对 y 积分时 为常量)得可表为D0：01，1y2，12，y2 上的二重积分(如图 244(b)所示，然后交换积分次序)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 ()(R)是球域： 2(yR) 2z 2R2选择先二( 与 y)后一(z)的积分顺序，(R)表为 RzR，(，y) D(z)(，y) 2(yR) 2R2z 2， 于是 I 圆域 D(z)的面积为(R2
13、z 2)，因此 I -RRf(z)(R2z 2)dz ()用题()的结果得用洛必达法则得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 平面区域如图 245(a)所示空间区域 是由旋转面戈2y 2(z 1)21 及平面 z0，z2 所围成，见图 245(b)由被积函数与区域的特点，选用柱坐标变换 rcos ，yrsin，zz， 并选择先二(先 r，Z)后一()或先 r， 后 z 的积分顺序 过 z 轴作极角为 的半平面截 得平面区域 D()(图245(c)： 0r ，0z2 ，于是【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 这二个区域 的共同点是，它们关于 yz 平面与 z 平面均对称，当被积函数对
14、或对 y 是奇函数时，则在 上的三重积分值为零于是 I (2y 2z 2)aV2 (yyzz)dV (2 y2z 2)dV 下面分别就上述两种区域 求积分值 I () 由上半球面 2 及锥面 z围成如图 246(a)所示它们的交线是：作球坐标变换，则 的球坐标表示为：02，0 ，02于是() 是两个球体 2y 2z 24 与 2y 2z 24z(2y 2(z2) 24)的公共部分，两球面的交线是 图 246(b)是 在 yz 平面上的截面图作球坐标变换，并用锥面 z 将 分成 1 2其中 1(，y，z) 2y 2z 24，z ， 2(，y，z) 2y 2 z24z，z 用球坐标表示： 1：02
15、0 ，02， 2：04cos， ，02 这里球面 2y 2z 24z 的球坐标方程是：4cos因此【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 I L(y)dsinsind(y)dyyd (y)siny (0，0) (，) Lyd Lyd L 的参数方程是因此，I 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 () 由题设可知，记 P (v，yu)，Q (uyv)，则 从而2u(2y 2)2u( 2y 2)0( 2y 20) 在 C 与 Cr+所围的区域 D 上用格林公式得 其中 Cr-为顺时针方向(如图 252) 于是 CPdQdy PdQdy 即结论() 成立 ()在 Cr+上 2y 2r 2，
16、由结论()得 CPdQdyP1dQ 1dy 其中 P1(，y)v yu，Q 1(，y)uyv 在 Cr+围成的区域 D，上用格林公式得再由二重积分中值定理得， (，) D，使得 udr 2(，)， 因此，对 充分小的 r0，就有 CPdQdy .r2u(，)2u(，) 令 r0 得CPdQdy2u(0，0)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 积分区域 D 的边界由参数方程给出，利用积分间的相互转化，将求，I(二重积分 )转化为求 D 的边界 上的曲线积分，由曲线的参数方程求曲线积分是方便的边界 由 1 及 2 组成，见图 253 D如图 253，边界厂取正向(逆时针方向)，在格林公式中，
17、 PdQdy 取 P y2，Q0，左端即是 I，且【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 图 261(a)中只画出曲面 z 2y 2，易知，关于 z 平面对称，y2 对 y 为偶函数，于是 y2dzd0，II 1 dydz 不论投影到哪个平面上计算这个曲面积分，都需要先求投影区域现选择投影到 y 平面上，记投影区域为Dy 由 ，消去 z 得 2y 2，见图 261(b)因方程为 z 2y 2，于是代公式化为二重积分得作极坐标变换：rcos，rrsin，D y： ，0rcos，于是【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 () 按旋度计算公式得 ( )，y(y)，z (z) (0，0，0) (
18、)若 C 是闭曲线，以 C 为边界的曲面 S，定向按右手法则，则由斯托克斯公式得 CPdQdyRdz rotF.ndS0 这里 不封闭，添加直线段 (如图 262)，则 C 构成闭曲线，于是 PdQdyRdz 0 J PdDdyRdPdQdyRdz 0hR(a，0，z)dz 0hz2dz h3【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 首先明确 与路径无关等价于 存在原函数 记 ，易验证：()D： 2y 20 不是单连通的，则 (，y)D) 不是 L，PdQdy 在 D 与路径无关的充分条件 事实上，若取闭曲线 C： 2 y2r 2，逆时针方向，则 CPdQdy 2 因此， 在D 上不是与路径无
19、关， 在 D 上不存在原函数 ()D：y0 是单连通的，在 D 上 LPdQdyD 上与路径无关，存在原函数则原函数 uarctan C ，其中 C 为 常数 ()同理， 在D：0 上与路径无关， 存在原函数，可求得原函数为uarctan C ( )区域 D 如图 27 一 1 所示，D 是单连通区域，在 D 上LPdQdy 在 D 上与路径无关，PdQdy 原函数【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 条件()即 LPdQdy 在全平面与路径无关 ，即 f()e f()，f ()f()e 现求此方程的解 这也是可降阶的二阶方程令 pf() ，两边乘 ()e de 得 (e p)1 积分并注
20、意 p(0)f(0) 0 得 ef() ，f() e 再积分得 f()( 1)e C 现由条件()定出常数C 因积钋与路径无关取 L 如图 273 所示的路径， 则有LPdQdy 10Q(1，y)dy -11P(，0)d 10f(1)dy -11f()d e -11(1)e Cd e( 1)e -11e -112C ， C 0 因此，f() (1)e 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 该旋转体记为 t，它的体积是 V 01f2()d 它的形心的 坐标 dV 0tf2()d， 其中 0t.f2()d 于是 0tf2()d 0tf2()d 0tf3()d 0tf2()d 按题意得 0tf2
21、)d 0tf2()dt， 即 0tf2()d t0tf2()d 两边求导得 tf 2(t)即 tf2(t) 0tf2(t)dt 再对 t 求导得 f 2(t)2tf(t)f(t)4f 2(f)， 即 f(t) f(t)0(t 0) (， 式中令 t0 时等式自然成立，不必另加条件) 现在式两边乘 得 0积分得 f(t)C (t0) 又 f()在0，)上连续，因此求得 f()C (0)，其中 C0 为常数【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 先求曲面 z1 2y 2 在 点( 0，y 0，z 0)处的切平面方程为 zz 02 0( 0)2y 0(yy 0)， 即 z1 02y 022 02
22、y 0y 再求切平面与z 2y 2 的交线在 y 平面上的投影，由 消去 z 得( 0)2(yy 0)21 因此投影曲线为( 0)2(yy 0)1，z 0 求立体的体积 记 D：( 0)2(yy 0)21，则切平面与 z 2y 2 所围成立体的体积 V (1 02y 02 202y 0y)( 2y 2)ddy 1( 0)2(yy 0)2ddy ，当( 0，y 0， z0)(0 ，0，1)时求 的表面积 的表面由平面部分S1：z1( 2y 21)及旋转抛物面部分 S2：z 2 y2(2y 21)组成，记D： 2y 21，则 S 1 的面积 A2， S 2 的面积因此，表面积AA 1A 2 【知识
23、模块】 高等数学23 【正确答案】 由对称性可知，引力 F(F 1，F 2，F 3)，其中 F1F 20，只需求z 方向的分量 F3圆柱面上 点(，y，z) 处取曲面微元 dS，它对该质点的引力沿，r(，y，z)方向，模为 k ， rr 引力 dF，在 z 轴方向的分量 dF3 zdS 整个圆柱面对质点的引力的 z 分量为 F3 现投影到 y 平面上求这个曲面积分S 如图 283，投影区域 D yz：RyR，0zh 前半曲面 S1 的方程 ，(y，z)Dyz，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 直接求 an 办不到，直接估计 an 也行不通用分部积分法将 an 分解 记 bn，易知交错级
24、数互 bn 条件收敛 现估计 cn由于又收敛 cn 绝对收敛 因此 (bnc n)条件收敛【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 变量替换法令 t 2，对 用求 R 公式原级数的收敛半径 R 因此原幂级数的收敛区间是( ) 再考察端点 的敛散性 当 时，由于 显然 收敛，而 ， 因此收敛，从而原级数 收敛 因此原幂级数的收敛域是【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 () 求收敛域：原幂级数记为 ann由收敛域为(，) () 求和函数 为了用 e，对原级数进行分解，记原级数的和为 S()，则因此 S() e e 1 (1e )e (1) (1e )(0)， S(0)0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由已知现逐项积分得【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 根据傅氏系数的计算公式，得 a n 02f()cosnd 01cosnd(n1，2，3)， a 0 02f()d 01d ， b n 02f()sinnd 01sinnd (n1，2，3，)， 所以 f()的傅氏级数为其和函数的周期为 2，且S() 令 0，得且 S(0)0， 所以【知识模块】 高等数学
