1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 70 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设场 A=x3+2y，y 3+2z，z 3+2x，曲面 S：x 2+y2+z2=2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( ) （A）32（B）一 32（C）（D）一二、填空题2 设 L 为从点 A(0，一 1，1)到点 B(1，0，2) 的直线段，则 L(x+y+z)ds=_3 设曲线 L： ，则 L(x2+2y2+z)ds=_4 Lyds=_，其中 L：(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)(a0)5 设向量场 A=2x3yzix2y2zj 一 x2yz2k，则其散度
2、 divA 在点 M(1，1，2)沿方向l=2，2，一 1的方向导数 (divA) M=_6 设 L 是从点(0 ，0)到点(2，0)的有向弧段 y=x(2 一 x)，则 L(yexe-y+y)dx+(x-y+ex)dy=_7 设 f(u)连续可导，且 04f(u)du=2，L 为半圆周 y= ，起点为原点，终点为B(2，0) ，则 Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 计算 I= 围成9 计算 10 计算 ，其中 D 为单位圆 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分11 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线(x
3、2+y2)2=a2(x2 一 y2)围成的区域12 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?13 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxabf(y)dy= abf(x)dx214 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得 15 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： 16 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，a
4、yb 证明dxdy(ba)217 设 f(x)连续，F(t)= x2+f(x2+y2)dv，其中 V=(x，y，z)x 2+y2t2，0zh(t0)，求 18 设 ：x 2+y2+z21，证明：19 设 f(x)为连续函数，计算 +yf(x2+y2)dxdy，其中 D 是由 y=x2，y=1，x=一 1 围成的区域20 交换积分次序并计算 (a0)21 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：22 证明：用二重积分证明23 设 f(x，y， z)连续，为曲面 2z=x2+y2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算yf(x，y，z)+xdydz+xf(x，y，z)+y
5、dzdx+2xyf(x，y，z)+zdxdy24 设 f(x，y)dx+xcosydy=t 2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求 f(x，y)25 设 L 为曲线x+y =1 的逆时针方向，计算 26 位于点(0 ，1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且r=AM) ，质点 M 沿曲线 L：y= 自点 B(2，0) 到点(0，0)，求质点 A 对质点 M 所做的功27 在变力 F=yz，xz，xy 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1 上第一卦限的点 M(， ，)，问 ， 取何值时，F 所做的功最大?求最大的功28 设 f(x)二阶连续可导，且曲线积分3f(x)一
6、 2f(x)+xe2xydx+f(x)dy 与路径无关，求 f(x)29 计算 ，其中 S 为圆柱 x2+y2=a2(a0)位于 z=a 与 z=a 之间的部分考研数学一（高等数学）模拟试卷 70 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 2a 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 2a 2(2 )【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题
7、解析】 P(x ，y)=ye xe-y+y， Q(x，y)=xe -y+ex，【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 P(x ，y)=xf(x 2+y2)，Q(x，y)=yf(x 2+y2)，【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 令【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 设球面 S：x 2+y2+(z 一 a)2=R2，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt， 则 ab
8、f(x)dxxbf(y)dy=abf(x)F(b)一 F(x)dx =F(b)abf(x)dxabf(x)F(x)dx=F2(b)一 abF(x)dF(x) =F2(b)一abf(x)dx2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y) 积分得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【
9、知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 f(x，y，z)=x+2y 一 2z+5， 因为 fx=10，f y=20，f z=20，所以 f(x，y， z)在区域 的边界 x2+y2+z2=1 上取到最大值和最小值令F(x，y，z，)=x+2y 一 2z+5+(x2+y2+z2 一 1)，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(x)dx01xf2(x)dx，等价于 01f2(x)dx01yf(y)dy01f(x)dx
10、01yf2(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令 I=01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy，根据对称性 I=01dx01xf(x)y(y)f(y)一 f(x)dy，2I= 01dx01f(x)f(y)(yx)f(x)一 f(y)dy， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(y x)f(x)一 f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y2R2，x0，y0， S=(x，y)0xR，0yR， D 2=(x，y)x 2+y22R2，x0，y0【知识模块】 高等数学23 【正确答
11、案】 曲面 2z=x2+y2 上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为 n=一 x，一 y，1 ，法向量的方向余弦为【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 cosy=fy(x，y)，则 f(x，y)=siny+C(x)，而 tcosydy=t2，两边对t 求导数得 C(t)=2tsint2 一 2t2cost2，于是 f(x，y)=siny+2x sinx2 一 2x2cosx2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 P= ，令 C：x 2+4y2=r2(r0)逆时针且 C 在曲线 L 内，则有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
12、27 【正确答案】 设原点 O 到点 M(，)的直线为 L，L 的参数方程为【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 f“(x)=3f(x)一 2f(x)+xe2x，即f“(x)一 3f(x)+2f(x)=xe2x， 由特征方程 一 3+2=0 得 1=1， 2=2， 则方程 f“(x)一3f(x)+2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e2x， 令特解 f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得 a= ，b=一 1， 故所求 f(x)=C1ex+C2e2x+( 一 x)e2x 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
