1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 XN(0，1)，yN(1 ，4)，且相关系数 XY1，则（A）PY2X11（B） PY 2X11（C） PY 2X11（D）PY2X112 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y N(1 ，4)，则 D(XY)（A）6（B） 8（C） 14（D）153 设”个随机变量 X1，X 2， ，X n 独立同分布， DX 1 2，则（A）S 是 的无偏估计量（B） S 是 的最大似然估计量（C） S 是 的相合估计量(即一致估计量)（D）S
2、与 相互独立4 设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2 均未知现从中随机抽取16 个零件，测得样本均值 20(cm) ，样本标准差 s1(cm)，则 的置信度为090 的置信区间是（A）(20 t005 (16)，20 t005 (16)（B） (20 t01 (16)，20 t01 (16)（C） (20 t005 (15)，20 t005 (15)（D）(20 t01 (15)，20 t01 (15)二、填空题5 设随机变量 X 的概率分布为 PX2 ，PX1 a ，P(X3b若EX0 ，则 DX_6 设 X 为随机变量且 EX ，DX 2则由切比雪夫不等式，有PX 3_
3、7 在天平上重复称量一重为 a 的物品假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2 *)若以 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使 n 的最小值应不小于自然数_ P a 010 958 设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为一 2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为05，则根据切比雪夫不等式有 PXY6_9 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_10 设由来自正恣总体 XN(，09 2)容量为 9 的简单随机样本，得样本均值5则未知参数 的置信度为 095 的
4、置信区间是 _11 设总体 X 的概率密度为 而X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为_12 设总体 X 的概率密度为 f() e ( )，X 1，X 2，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 ES2_13 设 X1，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其中参数 ， 2 未知记 则假设 H0： 0 的 t 检验使用的统计量 t_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设随机变量 X 的概率分布为 PX1PX2 在给定 Xi 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i1，2) () 求 Y 的
5、分布函数 FY(Y)； ()求EY15 设随机变量 X，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 PX0 ，PX1 ，且 X 与 Y 的相关系数 XY ()求(X，Y)的概率分布； ()求PXY116 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数 ()求 Y 的概率分布； () 求 EY17 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 的概率分布为 PX0PX2 ，Y的概率密度为 ()求 PYEY； ( )求 ZX Y的概率密度18 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX1PX1 ，Y服从参数为 的泊松分布令
6、ZXY (1)求 Cov(X，Z)； (2)求 Z 的概率分布19 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占 20以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1)写出 X 概率分布； (2)利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值 附表()是标准正态分布函数20 设 X1，X 2，X n 兄是来自总体 X 的简单随机样本已知EXka k(k1，2，3，4)，证明当 n 充分大时，随机变量 Zn 近似服从正态分布，并指出其分布参数21 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设每箱平均重 50 千克，标
7、准差为 5 千克若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)0977，其中 ()是标准正态分布函数)22 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数，0 是已知常数试根据来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量 23 设 050，125，080，200 是来自总体 X 的简单随机样本值已知YlnX 服从正态分布 N(，1)(1)求 X 的数学期望 EX(记 EX 为 b)；(2)求 的置信度为 095 的置信区间；(3)利用上述结果求 b 的置信度为 095 的置信区间24 设随机
8、变量 X 的分布函数为 其中参数0， 1，设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 ()当 1 时，求未知参数 的矩估计量； ()当 1 时，求未知参数 的最大似然估计量； ()当 2 时，求未知参数 的最大似然估计量25 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为记 YiX i ，i1，2，n 求：()求 Yi 的方差DYi，i1，2，n； ()求 Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1，Y n)； ()若 c(Y1Y n)2是 2 的无偏估计量，求常数 c26 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01) ，X 1，X 2，
9、 Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值1， 2， n 中小于 1 的个数求 () 的矩估计； () 的最大似然估计27 设总体 X 的概率密度为 其中参数(01)未知，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值 ( )求参数 的矩估计量 ； ( )判断 4 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由28 设 X1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的简单随机样本，记()证明丁是 2 的无偏估计量； () 当 0， 1 时，求 DT29 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 ()求 的矩估
10、计量； ()求 的最大似然估计量30 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本 ()求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量31 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的设 n 次测量结果 X1，X 2，X n 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差ZiX i(i1，2，n)利用 Z1，Z 2，Z n 估计 ()求 Z1 的概率密度； ( )利用一阶矩求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量32 设总体 X 的概率密度为 f(；) ， ， 其中 (0
11、，)为未知参数，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 的最大似然估计量为 (1)求 ； (2) 求 E 和 D 考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如果选项 A 或 C 成立，则应 XY 1，矛盾；如果选项 B 成立，那么 EY2EX11，与本题中 EY1 矛盾只有选项 D 成立时，XY1 ，EY2EX11，DY4DX4，符合题意，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知：EX1，DX2，EY1，DY4，于是 E
12、(X2)DX(EX) 221 23，E(Y 2)DY(EY) 241 25，注意到 X2 与 y2 是独立的，于是 D(XY) E(XY) 2E(XY) 2 E(X 2Y2)EX.EY 2 E(X 2).EY2(EX)2(EY)2 351 21214 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由题知： ab1，0EX(2) 1a 3ba3b1 联立得 ab 所以 DXE(X 2)(EX) 2E(X 2)(2) 2【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】
13、 【试题解析】 由题意及切比雪夫不等式，得：P X3【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 16【试题解析】 设第 i 次称量结果为 Xi，i1，2，n 由题意： ，且 X1，X n 独立同分布，X 1N(a ，02 2)由题意得 2( ) 1095，( )0075 查表得 196， n4(196) 21536 故 n 的最小值应不小于自然数 16【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 若记 X Y，则 EEXEY 220， 而 DD(XY)DXDY2cov(X，Y)DXDY2. (，y) 142( 05).3 其中 (，y)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正
14、确答案】 (4804，5196)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 (4412，5588)【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Xi11【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 2【试题解析】 EX f()d . e d0 DXE(X 2)(EX)2E(X 2) 2f()d 2. e d 0 2e d2 而 E(S2)DX，故ES22【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由题意可得： 又有 2(n1)，且 Q2 与 相互独立，故由 t 分布的构成得：当 H0 成立(即 0)时，成舍 t(n 1) 故填【知识模块】 概率论
15、与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 ()F Y(y)P(Yy)P(YyX 1)P(X1)P(YyX2)P(X2) 由题意可得：()由() 得 Y 的概率密度为 故EY 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由题意得 知EXEY ，DXDY而E(XY)P(X 1，Y1)， P(X1，Y1) 又由 P(X1)P(X1，Y 0)P(X1，Y1)及 P(X1) 得 P(X1，Y0) ，同理P(X0，Y1) 又由 P(Xi，Yj)1，得 P(X0，Y 0) 即(X， Y)的概率分布为： ()P(XY1)1P(XY1)1P(XY2) 1P(X1，Y1
16、)1 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 ()P(X3) 3 f()d 3 2 ln2d2 3 P(Yk) ，k2，3， ()EY 令 g() k(k1) k-2，1 则在 1 时，故 EY.2.8316【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 ()EY yf(y)dy 01y.2ydy 所以 P(YEY)()Z 的分布函数为： F Z(z)P(Zz)P(XYz)P(XYz 80)P(X0)P(XYzX2)P(X 2) P(0Yz). P(2Yz). f(y)dy 2 f(y)dy 故 Z 的概率密度为fZ(z)F Z(z) f(z)f(z2)【知识模块】 概率论与数理统
17、计18 【正确答案】 (1)Cov(X，Z) Cov(X，XY)E(X 2Y)EX.E(XY) E(X 2)EYEX.EX.EY 由 X 的分布。 可得 EX(1) 0，E(X 2)(1) 21 由 Y 的分布知 EY 故 Cov(X，Z)1. 0 2. (2)由题意可知，Z 可能取的值为 0，1，2，(所有整数) P(Z 0)P(XY0)P(XY0X1)P(X1)P(XY0X1)P(X1) P(Y0) (Y0) P(Y0) e e P(Zk)P(XYkX 1)P(X1)P(XYkX1)P(X1) P(Yk) P(Yk) P(Yk) ，k1，2， P(Zk)P(XYkX1)P(X1)P(XYk
18、X1)P(X1) P(Yk) P(Yk) P(Yk) ，k1，2，【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (1)由题意，XB(100，02)即：PXkC 100k.02 k.08 100-k，k0，1，2，100 (2)EX1000220，DX1000 20816 由中心极限定理知：N(0，1)(100 已充分大 ) 故所求概率为 P14X30(25)( 15)(25)1(15) 0994109330927【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由题意可知，由中心极限定理可知：即获证，而参数为(a 2， )【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 记 Xi 为第 i
19、 箱的重量，i1，2， 由题意知，X1，X n( n1)独立同分布，且 EX150， 5 又设汽车可装 k 箱符合要求，由题意应有： P Xi50000977 (*) 由中心极限定理知： N(0，1)(k 充分大)，故：由(*)式得：( )0977，故 2 若令 ，代入得：102210000，化为 由0，0 故 02k 980199【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 似然函数为当 1， n0 时， lnLnln nln( 1)ln( 1 n) ，令 0，解得 由于 0，可见 lnL 在 处取得唯一的极值且为极大值，故知 lnL(或 L)在该点处取得最大值 故知：【知识模块】 概率
20、论与数理统计23 【正确答案】 (1)bEXEe Y 记 y t ，作积分变量代换，得 (2)取自总体 Y 的样本值为：y 1ln05，y 2ln125，y 3 一 ln08，y 4ln2，则 的置信度为 1 的置信区间为： 本题中01，n4， 005， u 0975 196 而(ln05ln125ln08ln2) ln(05125082) ln10 代入得 的置信度为 095 的置信区间为 (0196 ，0196)(0 98，098) (3)b 是一单调增函数，故 b 的置信度为 095 的置信区间为 (e 048 ，e 148 )【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 总体 X
21、的概率密度为： f(；)F X(； ；)() 1 时，f(；) EX 1 .1 d ， 令 ，得 的矩估计量为： ； ()1 时，似然函数为1， n1 时，lnLnl( 1)ln( 1 n)， ln( 1 n)，令0，解得 故知卢的最大似然估计为 ()2 时，X 的概率密度为： 故似然函数为：可见 时，越大则 L 越大，为使 L 达最大，可取 ，故口的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()Cov(Y 1， Yn)Cov(X 1 一，X n )Cov(X 1，X n)Cov(X 1， )Cov( ，X n)D( )()由题意，Ec(Y1Y n)2 2 而 Ec(Y1
22、Y n)2cE(Y 1)2 E(Yn)22E(Y 1Yn) 而 E(Y1)E(X 1 )E(X 1)E( )000， E(Y 1)2 DY1E(Y 1)2DY 1 2 同理 E(Yn)2 2 又 E(Y1Yn)Cov(Y 1，Y n)E(Y 1)E(Yn)Coy(Y 1，Y n) 2 故得 2Ec(Y 1Y n)2 ， c 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()EX f(；)d 01.d 12.(1)d 故知 的矩估计为 ()似然函数而由题意，1， 2， n 中有 N 个的值在区间(0，1)内。故知 L N(1) n-N lnLNln(nN)ln(1 )，得 故知 的最大似然估
23、计为 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()EX f(；)d， 得 ，故 的矩估计量为由DX，0，可知 E4( )2 2，有 E4( )22，即 4( )2 不是 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 () 由 ， 有 ) 又由ES2 2， 知 ET 即 T 为 2 的无偏估计量 () 由已知条件知 与 S2 独立， DT ，且有这里 1，D(S 2) 又由 ，知 ，得 N(0，1)， 即 N(0 ，1)故得 2(1)， 即 n 2(1) Dn 2，即 n2D 2，得【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 矩估计：EX 做代换：t ，得 EX
24、0 et dt， ，得 最大似然估计：似然函数为当 i0，i 1，n 时 lnL2nln3ln( 1 n)故 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 ()E(X) ，故 的镇估计为 1 ()似然函数为可见， 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 () 设 Z1 的分布函数和概率密度分别为 FZ(z)和 fZ(z) 则 FZ(z)P(Z 1z)P(X 1z) z0 时，F Z(z)0，因此 fZ(z)F Z(z)0； z0 时，故 fZ(z)F Z(z) 这儿 (z)分别是标准正态分布 N(0，1)的分布函数和概率密度记 ，于是 ，得 即为 的矩估计 ()似然函数 当zi0， i：1，2，n 时， 故 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 (1)似然函数【知识模块】 概率论与数理统计
