1、2012 年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 f(x)的定义域为区间(-1 ，1，则函数 ef(x-1)的定义域为( )（A）-2，2（B） (-1，1（C） (-2，0（D）(0 ，22 若 f(x)(xR)为奇函数，则下列函数为偶函数的是( )（A）y= f(x)，x-1，1（B） y=xf(x)+tan3x，x(-，)（C） y=x3sinx-f(x)，x-1，1（D）y=f(x) sin5x，x(-，)3 当 x0 时，e 2x-1 是 sin3x 的( )（A）低价无穷小（B）高阶无穷小（C）等
2、价无穷小（D）同阶非等价无穷小4 设函数 f(x)= 则 x=0 是 f(x)的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点5 下列方程在区间(0，1) 内至少有一个实根的为( )（A）x 2+2=0（B） sinx=1-（C） x3+5x2-2=0（D）x 2+1+arctanx=06 函数 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=-1，则 =( )（A）23（B） -（C）（D）327 曲线 y=xlnx 的平行于直线 x-y+1=0 的切线方程是( )（A）y=x-1（B） y=-(x+1)（C） y=-x+1（D）y=(lnx+1)(x-1)8 设函数
3、y= ，则 y=( )9 若函数 f(x)满足 df(x)=-2xsinx2dx，则 f(x)=( )（A）cosx 2（B） cosx2+C（C） sinx2+C（D）-cosx 2+C10 abe-xsin(1-2x)dx=( )（A）e -xsin(1-2x)（B） e-xsin(1-2x)dx（C） e-xsin(1-2x)+C（D）011 若 f(-x)=f(x)，在区间(0，+) 内，f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在区间(-，0)内( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)012 若函数
4、f(x)在区间(a，b)内连续，在点 x0 处不可导，x 0(a，b)，则( )（A）x 0 是 f(x)的极大值点（B） x0 是 f(x)的极小值点（C） x0 不是 f(x)的极值点（D）x 0 可能是 f(x)的极值点13 曲线 y=xe-x 的拐点为( )（A）x=1（B） x=2（C） (2， )（D）f(1，1 e)14 曲线 y= +C( )（A）仅有水平渐近线（B）仅有垂直渐近线（C）既有水平渐近线，又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线，又无垂直渐近线15 若 cosx 是 f(x)的一个原函数，则 df(x)=( )（A）-sinx+C（B） sinx+C（C） -cosx+
5、C（D）cosx+C16 设曲线 y=f(x)过点(0，1)，且在该曲线上任意一点(x，y)处切线的斜率为 x+ex，则 f(x)=( )（A） -ex（B） +ex（C） x2+ex（D）x 2-ex17 -dx=( )（A）2（B） 0（C） 1（D）-118 设 f(x)是连续函数，则 f(t)dt 是( )（A）f(x)的一个原函数（B） f(x)的全体原函数（C） 2xf(x2)的一个原函数（D）2xf(x 2)的全体原函数19 下列广义积分收敛的是( )20 微分方程 x4(y“)2+y-x2y=0 的阶数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）421 已知向量 a=5，x，-2
6、和 b=y，6，4 平行，则 x 和 y 的值分别为( )（A）-4 ，5（B） -3，-10（C） -4，-10（D）-10 ，-322 平面 x+y+z=1 与平面 x+y-z=2 的位置关系是( )（A）重合（B）平行（C）垂直（D）相交但不垂直23 下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是( )（A）y 2+x2=1（B） z=x2+y2（C） z2=x2+y2（D）z=x 2-y224 关于函数 f(x，y)= 下列表述错误的是 ( )（A）f(x，y)在点(0，0)处连续（B） fx(0，0)=0（C） fy(0，0)=0（D）f(x，y)在点(0，0)处不可微25 26 累
7、次积分 02dx f(x，y)dy 写成另一种次序的积分是( )27 设 D=(x， y)|x2，|y|2)，则 dxdy=( )（A）2（B） 16（C） 12（D）428 若幂级数 anxn 的收敛半径为 R，则幂级数 an(x-2)2n 的收敛区间为( )（A）（B） (2-R，2+R)（C） (-R，R)（D）29 下列绝数绝对收敛的是( )30 若幂级数 an(x-3)n 在点 x=1 处发散，在点 x=5 处收敛，则在点x=0，x=2，x=4，x=6 中使该级数发散的点的个数有( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、二、填空题31 设 f(3-2x)的定义域为
8、(-3，4，则 f(x)的定义域为 _32 33 设函数 f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)，则 f(4)(x)=_34 设参数方程 所确定的函数 y=y(x)，则 =_35 (lnx+1)dx=_36 点(3 ，2，-1)到平面 x+y+z-1=0 的距离是_37 函数 z=(1+y)x 在点(1，1) 处的全微分 dz=_38 设 L 为三个顶点分别为(0，0)，(1 ，0)和(0，1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则 L(xy2-y3)dx+(x2y-3xy2)dy=_39 已知微分方程 y+ay=ex 的一个特解为 y=xex，则 a=_40 级数 的和为_三、
9、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 42 设由方程 ey-xy2=e2 确定的函数为 y=y(x)，求 dxdy| x=043 求不定积分 dx44 求定积分 02(x+ )dx45 求过点(1 ，2，-5)且与直线 平行的直线方程46 求函数 f(x，y)=x 2+3y2-2xy+8x 的极值47 将 f(x)= 展开成 x 的幂级数48 计算二重积分 d，其中 D 是由圆 x2+y2=3 所围成的闭区域49 求微分方程 9y“-6y+y=0 的通解四、综合题50 要做一个容积为 V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省?50 平面图形 D 由曲线 y=x2，直
10、线 y=2-x 及 x 轴所围成求：51 D 的面积；52 D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积五、证明题53 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内可导，且 f(0)=0，f(1)=2证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()=2+1 成立2012 年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题意得，f(x)的定义域为(-1 ，1，则在 ef(x-1)中，x-1(-1，1，即x2故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，对于选项 D，f
11、(-x)sin5x所以选所以选项 D 为偶函数故选 D3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意得，1，所以当 x0 时，e 2x-1-1与 sin3x 为同阶但非等介无穷小故选 D4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得， =1因为 f(x)，所以 f(x)为可去间断点故选 A5 【正确答案】 C【试题解析】 对于选项 C，我们构造函数 f(x)=x3+5x2=-2，f(0)=-2，f(1)=4 ，则有f(0)f(1)0，由零点存在定理得，f(x)=0 在(0，1)上至少存在一个实根故选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 求曲线 y=xlnx 的导
12、数得，y=lnx+1 ，又因为直线 x-y+1=0 的斜率k=1，所以令 y=1 得 x=1，y=0，所以曲线与直线平行的切线方程为 y-0=x-1 即y=x-1故选 A8 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得，y= 故选 B9 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，df(x)=-2xsinx 2dx，则 f(x)=cosx2+C，故选 B10 【正确答案】 D【试题解析】 因为 abe-xsin(1-2x)dx 为一常值，所以 abe-xsin(1-2x)dx=0故选 D11 【正确答案】 D【试题解析】 由题意得，f(x)=-f(-x)，则 f(x)为偶函数，因为在 (0，+)上，f(x
13、)0，f“(x)0，偶函数的图像关于 y 轴对称，所以 f(x)0，f“(x) 0故选 D12 【正确答案】 D【试题解析】 由判断极值的方法知 x0 可能是 f(x)的极值点故选 D13 【正确答案】 C【试题解析】 y=e -x-xe-x， y“=-e-x-e-x+-xe-x=xe-x-2e-x=(x-2)e-x，令 y“=0，得 x=2，y=，所以曲线的拐点(2， )故选 C14 【正确答案】 A【试题解析】 ，所以曲线有水平渐近线；又因为 y0 时，曲线不存在垂直渐近线故选 A15 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x)=cosx，则 f(x)=F(x)=-sinx，所以df(x)
14、=d(-sinx)=-sinx+C,故选 A16 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得，x+e xdx=d( +ex+C，又因为曲线过点(0，1)所以 C=0，故 f(x)= +ex故选 B17 【正确答案】 B【试题解析】 18 【正确答案】 C【试题解析】 ( f(t)dr)=2xf(x2)，由定积分的性质易知，它是 2xf(x2)的一个原函数故选 C19 【正确答案】 C【试题解析】 e+ |0+=0+1=1，故选 C20 【正确答案】 B【试题解析】 由微分方程概念知，阶数为方程中的最高阶故选 B21 【正确答案】 B【试题解析】 因为向量 a 与 b 平行，所以 ，得 x=-3，y
15、=-1 故选B22 【正确答案】 D【试题解析】 平面法向量 s1=(1，1，1)，s 2=(1，1，-1)，s 1s 1=1，两平面相交但不垂直故选 D23 【正确答案】 A【试题解析】 由柱面的方程的特点知，y 2+x2=1 表示圆柱面故选 A24 【正确答案】 A【试题解析】 令 y=kx，则 当 k 取不同值时，极限值不同因此 不存在，所以在点(0，0)处不连续故选 A25 【正确答案】 D【试题解析】 26 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知，0x2，- ，由此可得，-1y1，1- ，所以交换积分次序后， -11dy f(x，y)dx 27 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得
16、，-2x2，-2y2， dxdy=-22dx-22dy=16故选 B28 【正确答案】 D【试题解析】 因为 anxn 的收敛半径为 R，令 t=(x-2)2，则 antn 的收敛半径为R，即-Rt R，则(x-2) 2R，即 2- 故选 D29 【正确答案】 B【试题解析】 由 p-级数的性质得，A、C、D 均发散故选 B30 【正确答案】 C【试题解析】 由幂级数、发散、收敛的性质知，并根据收敛区间讨论可得，在这4 个点中发散点的个数有两个，故选 C二、二、填空题31 【正确答案】 -5，9)【试题解析】 由题意得 f(3-2x)的定义域为(-3，4，即-3x4，所以-53-2x9，即 f
17、(x)的定义域为-5 ，9)32 【正确答案】 52【试题解析】 33 【正确答案】 24【试题解析】 由函数 f(x)得，求四阶导数之后，只有首项不为 0，即 f(4)(x)=41=2434 【正确答案】 32【试题解析】 35 【正确答案】 xlnx+C【试题解析】 (lnx+1)dx=d(xlnx)=xlnx+C36 【正确答案】 【试题解析】 37 【正确答案】 2ln2dx+dy【试题解析】 dz=(1+y) xln(1+y)dx+x(1+y)x-1dy当 x=1，y=1 时，dz=2ln2dx+dy38 【正确答案】 0【试题解析】 ，由格林公式得，该曲线积分为 039 【正确答案
18、】 -1【试题解析】 将 y=xex 代入微分方程得，e x+xex+axex=ex，得 ax+x=0，即 a=-140 【正确答案】 e 3【试题解析】 因为ex=1+x+ =e3三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 【正确答案】 42 【正确答案】 令 F(x，y)=e y-xy2-e2，则有 Fx=-y2，F y=ey-2xy，因为 ey-xy2=e2，所以当 x=0 时，y=2，所以=4e-243 【正确答案】 令 t= ，即 ex=t2-1，x=ln(t 2-1)，则 dx=44 【正确答案】 45 【正确答案】 由题意得，两平面的法向量分别为 n1=2，-1，1 ，n 2
19、=1，-3，0所以，n 1n2= =(3，1，-5)，所以该直线的方向向量为 s=3，1，-5又因为直线过点(1 ，2，-5)，所以该直线的方程为46 【正确答案】 f(x ，y)=x 2+3y2-2xy+8x，f y(x，y)=2x-2y+8，f y(x，y)=6y-2x ，要求函数的柱点，只要解方程 fx=0，f y=0，即 解得驻点为 x=-6，y=-2，对于驻点(-6，-2)，A=f xx(-6，-2)=2，B=f xy(-6，-2)=-2C=f yy(-6，-2)=6，于是 B2-AC=4-26=-80，又因为 A=20，所以函数在(-6，-2)处取得极小值 f(-6，-2)=-24
20、47 【正确答案】 f(x)= 其中 (-1)nxn(-1x1)，48 【正确答案】 由题意可知，用极坐标计算 D=(r，)|0r ，02，于是49 【正确答案】 9y“-6y+y=0 对应的特征方程为 9r2-6r+1=0特征根为r1=r2=13，因此所给方程的通解为 y=(C1+C2x) (C1，C 2 是任意常数)四、综合题50 【正确答案】 设该容器的高为 h，底面半径为 r，则该容器的容积 V=r2h，即 h= ，该带盖容器的用料 S=2r2+2rh，所以 S=2r2+2r，令 S=0，解得唯一驻点 r=时，S 取值最小51 【正确答案】 由题意可得，此平面区域 D 如图所示，用 x
21、=1 将区域 D 分成 D1和 D2 D1 为曲边三角形，D 2 为直角三角形，所以，A=01x2dx+ (2-1)1=52 【正确答案】 平面区域 D 绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积为Vx=01x4dx+12(2-x)2dx五、证明题53 【正确答案】 构造函数 F(x)=f(x)-x2，因为 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0， 1)内可导，所以函数 F(x)在闭区间0，1 上连续，在开区间(0，1)内可导，且F(x)=f(x)-2x于是 F(x)在 0，1 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间(0，1)内至少存在一点 ，使得 将 f(0)=0，f(1)=2 代入上式，得 F()= =f(1)-1-f(0)-0=1，即 f()-2=1，于是 f()=2+1
