1、2015 年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 f(x)有一原函数 ，则f(x)dx=( )2 设ktan2xdx= lncos2x+C，则 k=( )3 设 f(x)连续，F(x)= f(t2)dt，则 F(x)=( )（A）f(x 4)（B） x2f(x4)（C） 2xf(x4)（D）2xf(x 2)4 设 f(x)在(0，+)上连续，且 f(t)dt=x，则 f(2)=( )（A）5（B） 3（C） 1（D）155 广义积分 1+ =( )（A）ln2（B） -ln2（C） ln2（D）发散二、二、填空题
2、6 设 P(1，2，1)到平面 ：3x-4y+5z+2=0 的距离 d=_7 设 z=xy2+ =_，8 dxdy=_，其中 D 为 1x2+y24求得驻点(2，-2)又 A=fxx(2，-2)=-20，B=f xy(2，-2)=0，C=f yy(2，-2)=-2 ，B 2-AC=-40，由判定极值的充分条件知，在点(2 ，-2)处，函数取得极大值 f(2，-2)=8 9 微分方程 y“-2y+y=x-2 的通解为_10 幂级数 的和函数 s(x)=_三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 将函数 f(x)= 展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间12 计算 (1-x2-y2)dxd
3、y，其中积分区域 D 为 x2+y2113 求微分方程 y“+2y=3x 的通解14 将长为 l 的铜丝切成两段，一段围成圆形，另一段围成正方形，问这两段铜丝的长各为多少时圆形与正方形的面积之和最小?14 已知曲线 y=a (a0)与曲线 y=ln 片 在点(x 0，y 0)处有公切线，试求：15 常数 a 和切点 (x0，y 0)；16 两曲线与 x 轴围成的平面图形的面积 S17 设函数 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0，又 F(x)=x2f(x)，证明：至少存在一点 (0，1)，使 F“()=02015 年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、一、选
4、择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)有一原函数 ，进而f(x)dx=f(x)+C=+C，选项 C 正确2 【正确答案】 B【试题解析】 由不定积分的定义可知，3 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=f(x 4)(x 2)=2xf(x4)，故选项 C 正确4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(t)dt=x，两边求导，得 fx2(1+x)(2x+3x 2)=1，取 x=1代入上式，有 f(2)5=1，则 f(2)=155 【正确答案】 C【试题解析】 二、二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 【试题解析
5、】 8 【正确答案】 3【试题解析】 由二重积分的几何意义，知 dxdy 的值为积分区域 D 的面积，即原式=39 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+x【试题解析】 先求对应齐次方程 y“-2y+y=0 的通解，因特征方程为 r2-2r+1=0，r=1 为重根，所以齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e2 设 y*=Ax+B 为原方程的特解则 y*=A，y *“=0，将 y*、y *、y *“代入原方程有 -2A+(Ax+B)=x-2，所以A=1， B=0，于是 y*=x，原方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x10 【正确答案】 ln(1+x)【试题解析】 因为 =1-x+x2
6、-x3+(-1)n-1x n+1+，|x|1；于是，两边积分，得 ln(1+x)=x- +(-1)n-1 +，|x|1三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 因为 f(x)= 又=1+x+x2+xn+，|x| 1，即收敛区间为(-1，3)12 【正确答案】 积分区域 D 如图所示，这里 0r1，02 ，故有13 【正确答案】 所给微分方程为二阶线性常系数非齐次微分方程所对应的齐次方程的特征方程为 r2+2r=0，特征根为 r1=0，r 2=-2对应齐次方程的通解为y=C1+C2e-2x自由项 f(x)=3x，=0 为特征根设原方程的特解为 y*=x(ax+b)，则y*=2
7、ax+by*“=2a，代入原方程可得 2a+4ax+2b=3x，14 【正确答案】 设两段铜丝的长分别为 x，y，由题意，x+y=l，则圆面积与正方形面积之和为 z= 该题即求 z= 在 x+y=l 条件下的极限令 F(x，y，)= +(x+y-l)， 由实际意义知，当两段铜丝的长分别为： 时，圆形与正方形的面积之和最小15 【正确答案】 由已知条件知： 求解，得a=1e，切点为(e 2，1)16 【正确答案】 两曲线与 x 轴围成的平面图形如图所示：于是所求平面图形的面积为：17 【正确答案】 由条件知，F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，并且 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知，至少存在一点 (0，1) ，使 F()=0又 F(x)=2xf(x)+x2f(x)，由于 f(x)在0，1上有二阶导数，所以 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且F(0)=F()=0由罗尔定理知，至少有一点 (0， ) (0，1)，使 F“()=0
