1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知函数 y=f(x)在点 x0 处可导，当自变量 x 由 x0 增加到 x0x 时，记y 为函数 f(x)的增量，dy 为函数 f(x)的微分，则当x0 时 ( )（A）y 一 dy 是比x 高阶的无穷小（B） y 一 dy 是比x 低阶的无穷小（C） y 一 dy 与x 是同阶无穷小，但不是等价无穷小（D）y 一 dy 与x 是等价无穷小2 若 f(x)=xln2x，且 f(x0)=2，则 x0= ( )（A）1（B）（C）（D）e3 下列哪个函数不是 的原函数的是 ( )（A）
2、arcsin(2x 一 1)（B） arccos(12x)（C） 2arctan（D）2arctan4 由曲线 y=x22x，x 轴，x=1 ，x=3 所围成的图形面积为 ( )（A）（B）（C） 2（D）5 设直线 L： 及平面 ：4x 一 2y+z 一 2=0，则 ( )（A）L （B） L （C） L（D）L 与 斜交二、填空题6 设 且 f(x)存在，则 a_7 一 x)_8 设函数 (x) ln(1+t)dt，则 (1)_9 曲线 y 的水平渐近线为_10 设参数方程 _11 设 f(x)=1+x 一 1sin(x 一 1)，则 f(1)_ 12 已知函数 yxe (x21) ，则
3、dy x0 _13 在空间直角坐标系中，以点 A(0，一 4，1)，B( 一 1，一 3，1)，C(2，一 4，0)为顶点的ABC 的面积为_14 dx_15 已知函数 f(x)的一个原函数为 x3cosx，则xf(x)dx_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 设 ，求 f(f(x)17 计算极限18 设 ，计算19 求曲线 ，在点( )处的切线方程与法线方程20 计算不定积分：21 设 ，试求：(x)= f(t)dt 在(，)上的表达式22 求 y=sinx+cosx，x0，2 的单调区间与极值23 经过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面
4、图形D，求平面图形 D 的面积及该平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得到旋转体的体积V四、综合题24 求函数 y=x+ 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点25 证明：(1) lnsin2xdx= lnsinxdx；(2)结合(1)计算定积分 lnsinxdx 的值26 证明：当 x0 时， arctanx 一 浙江专升本（高等数学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 由微分和增量的定义及其关系可知，=f(x0)一f(x 0)+ =0，因此 A 答案正确2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)=xln2x，所
5、以 f(x)=ln2xx. .2=ln2x+1，且 f(x0)=ln2x0+1=2，即 ln2x0=1 故 2x0=e，解得 x0= ，可见选项 B 正确3 【正确答案】 D【试题解析】 根据原函数的基本概念可知，若 F(x)= ，则 F(x)是的一个原函数，而(2arctan ，因此选项 D 中函数2arctan 不是 的一个原函数4 【正确答案】 C【试题解析】 画图可知所围图形的面积为两部分之和，即 A= (2xx2)dx+ (x2 2x)dx=(x 2 x3) =25 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 S=n1n2= =7(4i 2jk) ，而已知平面 的法向量为
6、n=(4，2，1)所以 Sn ，故 L，可见选项 C 正确二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 =a；=，由 f(x)存在得充要条件可知a=7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 2+2ln2【试题解析】 (x)=ln(1+x 2).2x = +2ln(1+x2)所以 (1)=2+2ln29 【正确答案】 y=【试题解析】 由于 所以曲线 y=的水平渐近线为 y= 10 【正确答案】 1【试题解析】 =3t，又因当 x=1 时，t=1，y=5所以=111 【正确答案】 0【试题解析】 f(1)= x1=012 【正确答案】 dy x=0e 1 dx【试题解析】 ye -(x21)
7、 (1 一 2x2)，y(0)=e 1 ，所以 dy x=0=y(0)dx=e1 dx13 【正确答案】 【试题解析】 =(一 1，1，0)， =(3，一 1，一 1)，S ABC =14 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f(x)=x2ln(x+ )为奇函数，故dx=015 【正确答案】 2x 3cosxx 4sinx+C【试题解析】 据题意，f(x)dx=x 3cosx+C，所以 f(x)=3x2cosxx3sinx xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)f(x)dx=2x 3cosxx 4sinx+C三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 根据 f(x)的表达式可知
8、 f(f(x)= 而由已知可知 0f(x)1，x0，2，故将 f(x)的表达式代入可得：17 【正确答案】 原极限= = =618 【正确答案】 19 【正确答案】 根据隐函数的求导方法得 y=0 (*) 将点(a)=1； 因而经过点( )的切线方程为 y一 a 法线方程为 y 一 a；即y=x20 【正确答案】 21 【正确答案】 分三种情况讨论如下：当 x0 时，(x)= f(t)dt=0； 当 0x时，(x)= (cosx 一 1) 当 x 时，(x)= sintdt=1 所以 (x)=22 【正确答案】 y=sinx+cosx )，x0，2y=极大值为 y(，极小值为 y( ，单调增区
9、间为(0， ，2)；单调减区间为( ) 23 【正确答案】 据题意设设切点(x 0，lnx 0)，则切线的斜率 k=f(x0)= ，又斜率可以写成：k= ，所以 x0=e，因而切点的坐标为(e，1)； (1)平面图形的面积 A= e 一 1(2)旋转体的体积Vx= (lnx)2dx=xln2x lnxdx=e2(xlnx dx)=(e 一 2)四、综合题24 【正确答案】 据题意，函数 y=x+ 的定义域为(一，一 1)(一 1，+)y=1 ，令 y=0，得驻点 x1=2，x 2=0 所以函数的定义域可以划分为四个区间并列表如下： 所以函数的单调递增区间为(一，一 2)，(0，+)(或(，一
10、2，0，+)；单调递减区间为(一 2，一 1)，(一 1，0)( 或一 2，一 1)，(一 1，0)极大值为 f(2)3，极小值为 f(0)=1因 y= ，当 x(，1)时，y 0，曲线y=x+ 为凸的；当 x(1，+) 时，y0，曲线 y=x+ 为凹的，所以函数的凸区间为(一，一 1)，凹区间为（一 1，)凹凸性改变的点为 x=1 不在定义域内，所以函数没有拐点25 【正确答案】 (1) lnsinudu=lnsinudu 又因lnsintdt=lnsintdt 所以 lnsinxdx(2)另一方面 lncostdt 所以令 J=lnsinxdx，再结合(1) 可知 J= ln2sinxcosxdx=ln2.2J 所以 J= ln226 【正确答案】 令 f(x)= 一 arctanx+ ，x(0 ，+)则 f(x)=0 所以函数 f(x)在 x(0，+)上单调递减 所以当 x0 时，f(x) 0 当x0 时，f(x)0，即
