1、陕西专升本（高等数学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 y=ln(x2+2)在 x=0 处取得其定义域上的( )（A）极大值但不是最大值（B）极大值且是最大值（C）极小值但不是最小值（D）极小值且是最小值2 =( )（A）arctanx+C（B）（C）（D）3 设 a=1，2，一 3，若 b 平行于 a，且 ，则向量 b 是( )（A）1，2，一 3（B） 2，4，一 6（C） 一 2，一 4，一 6（D）2 ，一 4，64 级数 的收敛域是( )（A）一 3，一 3)（B） 一 3，3（C） (一 3，3)（D）(一 3，35 方程 y一
2、 4y一 5y=e-x 一+sin5x 的待定特解形式可设为( )（A）y=A 1e-x+B1sin5x （B） y=A1e-x+B1cos5x+B2sin5x（C） y=A1ex+B1cos5x （D）y=A 1xe-x+B1cos5x+B2sin5x二、填空题6 设函数 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=3，则 _.7 若 f(sin2x)=cos4x，则 f(x)=_8 设函数 f(x)=(2x 一 1)(x 一 3)(x 一 7)，则方程 f(x)=0 有_个实根9 设 z=xy，则=_.10 设 L 为椭圆 ，其周长为 a，则曲线积 L(3x2+4y2 一 2)ds=_
3、三、综合题11 球12 设 (1)当 a 为何值时，f(x)在 x=0 点处连续；(2)当 a 为何值时，点 x=0 是 f(x)的间断点；(3) 当 a=2 时，求 f(x)的连续区间13 设参数方程14 计算不定积分15 设函数 f(x)连续，且16 已知 z=f(u，v)，u=x+y，n=xy 且 f(u，v)的二阶导数连续，求17 计算二重积分18 求曲线积分 其中 L 是闭曲线 x2+y2=a2(a0)的正向19 求幂级数 在收敛区间内的和函数20 求方程 y+2y=3e-2x+sinx 的通解四、证明题21 求由曲面 z=x2+2y2 及 z=62x2 一 y2 所围成的立体体积2
4、2 证明：当 x0 时，e x 一 1(1+x)In(1+x) 陕西专升本（高等数学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 函数的定义域为(一，) ，又 令 y=0，得驻点 x=0当一x0 时，y0；当 0x+ 时，y0故 x=0 是函数 y=ln(x2+2)的极小值点在(一， +)内函数只有惟一极小值点，所以 x=0 又是最小值点故选 D。2 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C.3 【正确答案】 B【试题解析】 故得=2，从而 b=2a 一2，2，一 6，故选 B.4 【正确答案】 A【试题解析】 这是调和级数
5、，它是发散的当 x=一 3 时，级数成为 这是莱布尼兹型级数，它是收敛的综上可知，原幂级数的收敛区间是一 3，3)故选A.5 【正确答案】 D【试题解析】 方程对应的齐次方程为 y一 4y一 5y=0 它的特征方程为 r2 一 4r 一5=0，特征值为 r1=5，r 2=一 1 因此方程 y一 4y一 5ye-x+sin5x 的通解为y=C1e5x+C2e-x+y10+y20 其中 y10 是 y一 4y一 5y=e-x 的特解，且形式为 y10=A1xe-x；y 20 是 y一 4y一 5ysin5x 的特解，且形式为 y20=B1cos5x+B2sin5x 所以，原方程的特解形式为 y10
6、+y20 一 A1xe+B1cos5x+B2sin5x，故选 D.二、填空题6 【正确答案】 6【试题解析】 7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)有三个零点 ，x 2=3，x 3=7，故在区间 ，-3，7上分别应用罗尔定理，知 f(x)在两个区间内至少各有一个零点，即方程 f(x)=0 至少有两个实根。又因为 f(x)是三次函数，f(x)是二次函数，最多有两个零点，从而可确定二次方程 f(x)=0 的实根数为 2。9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 10a【试题解析】 这是一个对弧长的曲线积分，可利用积分曲线的方程对被积函数进行简化，
7、由于在曲线 l 上 3x2+4y2=12，于是三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 (1)f(x) 在点 x=0 处连续必须既左连续又右连续，所以有由得 a=1，即当 a=1 时，f(x) 在点 x=0 处连续(2)显然当 a0，a1 时，点x=0 是 f(x)的间断点(3)当 a=2 时，x=0 是 f(x)的间断点，所以 f(x)的连续区间(一，0)U(0，+) 13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 令 u=2x 一 t，t=2x 一 u，dt=一 du，则16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】
8、对应齐次方程的特征根为 r1=0，r 2=一 2，故齐次方程的通解为设 y+2y=3e-2x 的特解 y1*=Axe-2x，则 y1*=Ae-2x+Ax e-2x(一 2)=Ae-2x 一 2Ax e-2xy1*=一 2Ae-2x 一 2Ae-2x 一 2Axe-2x(一 2)=一 4Ae-2x+4Axe-2x 将和代入方程y+2y=3e-2x，得一 4Ae-2x+4Axe-2x+2Ae-2x 一 4Aze-2x=3e-2x 一 2Ae-2x=3e-2x又设 y2*=Bcosx+Dsinx 是 y+2y=sinx 的特解，则 y2*=一Bsinx+Dcosx，y 2=一 BcosxDsinx 将和代入方程 y+2y=sinx，得一 BcosxDsinx+2(一 Bsinx+Dcosx)=sinx(2DB)cosx 一(2B+D)sinx=sinx根据二阶非齐次线性方程解的结构，所给方程的通解为四、证明题21 【正确答案】 求投影区域 D 由 x2+2y2=62x2 一 y2，得 3x2+3y2=6，即D=(x，y) x 2+y2222 【正确答案】
