1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 27 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 已知向量 、 的模分别为=3，= ，=3，且 与 的夹角为 ，则 = ( )2 点 P(2，一 3，1)关于 Oxz 坐标面的对称点是 ( )（A）(一 2，3，一 1)（B） (一 2，一 3，一 1)（C） (2，一 3，一 1)（D）(2 ，3，1)3 若直线 与平面 4xy+3z=4 垂直，则 m= ( )（A）一 6（B） 6（C）（D）4 设函数 f(x， y)=2x2 一 y2+1，则点(0，0) (
2、 )（A）是 f(x， y)的驻点但不是极值点（B）是 f(x，y) 的极小值点（C）是 f(x，y) 的极大值点（D）不是 f(x，y)的驻点5 已知函数厂 f(z，y)在(0，1)处的偏导数存在，则 ( )（A）f x(0，1)（B） fx(0，2)（C） fx(0，1)（D）2f x(0， 1)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 a=0，一 1，3和 b=1，一 2，一 1，则一 2a+b=_7 设函数 z=lnxy，则全微分 dz=_8 设 L 是 A(1，0)，B(0，1) 之间的直线段，则9 微分方程 y“=x 的通解 y=_10 无穷级数 的
3、和为_三、计算题11 求方程 y“一 y一 2y=0 的通解12 求方程 y“+(y)2=0 满足初始条件 13 求方程 xy“=y的通解14 求方程 y“一 4y+4y=0 的通解15 求方程 y“+2y+2y=0 的通解16 判断级数 的敛散性17 已知级数 收敛，证明级数 是绝对收敛18 证明级数 的收敛性，并求其和19 应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数20 求函数 在 x=0 处的幂级数展开式21 求函数 f(x)=x3 一 2x2+4x+1 在 x=1 处的泰勒展开式22 判断级数 的敛散性四、综合题23 求函数 f(x，y)=x 2 一 4x+3y2+6y+1 的极值点
4、24 求椭圆抛物面 z=x2+y2 被平面 z=0，z=1 所截得的曲面面积25 求幂级数 在其收敛区间(一 1，1)内的和函数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 27 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 = cos=3 cos=3，于是 cos= ，从而= 2 【正确答案】 D【试题解析】 设点 P(2， -3，1) 关于 Oxy 坐标面的对称点为 P0 (x0，y 0，z 0)，则x0=x， y0=-y，z 0=z，故 P0 (2，3，1) 3 【正确答案
5、】 A【试题解析】 直线的方向向量和平面的法向量分别为 v=一 8，2，m)和 n=4，一1，3)若直线与平面垂直，则 v/n，即 ，故 m=64 【正确答案】 A【试题解析】 f x=4x，f y=一 2y，令 fx=fy=0,得 x=y=0，因此(0，0)是驻点由于A=fxx(0，0)=40，B=f xy(0，0)=0，C=f yy(0，0)=一 2， =B2 一 AC=80，故(0，0)不是极值点5 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 1，0，一 7【试题解析】 一 2a+b=一 20，一 1，3+1，一 2，一 1
6、=0，2，一 6)+1，一2，一 1=1，0，一 77 【正确答案】 【试题解析】 函数 z=lnxy，则 ，故 dz=8 【正确答案】 【试题解析】 AB 间的线段表示为 x+y=19 【正确答案】 3+C1x+C2(C 1，C 2 为任意常数 )【试题解析】 y“=x，两边同时积分得 y= x2+C1，两边再同时积分得y= x3+C1x+C2(C 1，C 2 为任意常数)10 【正确答案】 【试题解析】 由无穷级的和形式，可联想到，令 x=1得 ，即所要求的无穷级数的和为 三、计算题11 【正确答案】 y“一 y一 2y=0 的特征方程为 r2 一 r 一 2=0 故其特征根为r1=2，r
7、 2=一 1 故所求通解为 y=C1e2x+C2ex(C1，C 2 为常数) 12 【正确答案】 令 P=y，则 代入原方程得 P? +P2=0，当 y0 且 P0 时，分离变量得 =dy两边积分得 lnp=一y+C1，即 P=C1e-y，将 P= 代入上式得 =C1e-y (1)分离变量得 eydy=C1dx，两边积分得 ey=C1x+C2 (2)将初始条件 =2 代入(1)和(2)式中得 C1=2， C 2=1，故所求特解为 ey=2x 一 1，即 y=ln(2x 一 1)13 【正确答案】 令 P=y，代入原方程得 xp=P，分离变量 两边积分得lnp=lnx+lnC1，即 P=C1x，
8、将 P=y代入上式得 =C1x，分离变量 dy=C1xdx，两边积分得 y= C1x2+C214 【正确答案】 y“一 4y+4y=0 的特征方程为 r 2 一 4r+4=0， 其特征根为 r1=r2=2， 故所求通解为 y=(C1+C1x)e2x15 【正确答案】 y“+2y+2y=0 的特征方程为 2+2+2=0， 故其特征根为 1=一1+i， 2=一 1 一 i， 故所求通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx)16 【正确答案】 级数 ，则 =0 收敛17 【正确答案】 ，由于级数， 均收敛，故原级数绝对收敛18 【正确答案】 则，=1,所以原级数收敛，且和数 S=119 【正确答
9、案】 (1)设 un= ，故 =x2，则当x 2 ，故其发散故原级数的收敛域为(一 1，1)设 S(x)= ，在 x(一 1，1)内逐项求导得故x(一 1，1)(2)设an=n，R= =1，当 x=1 时原级数均发散，故原级数的收敛域为(一1，1)设 S(x)= ，设 f(x)= ，逐项积分得故 f(x20 【正确答案】 所以当x时，21 【正确答案】 f(1)=12+4+1=4 ，f(1)=3x 2 一 4x+4 =3，f“(1)=6x 一4 =2，f“(1)=6，f (n)(1)=0(n4)，故 f(x)在 x=1 处的泰勒展开式为 f(x)=f(1)+(x1)+ (x 一 1)2+ (x 一 1)3=4+3(x 一 1)+(x1)2+(x 一 1)322 【正确答案】 ，而级数 发散，由比较判别法得原级数发散四、综合题23 【正确答案】 由 得驻点(2，一 1)由于fxx=2，f xy=0，f yy6，则= 一 fxxfyy=一 26=一 12 24 【正确答案】 设所求曲面的面积为 S，在 Oxy 坐标面上投影为D：x 2+y21，则有25 【正确答案】 设和函数 S(x)= (n+1)xn，逐项求积分可得，再设 S1(x)=，逐项求积分可得，两边求导得 S1(x)=，所以 ，两边求导得 S(x)=
