1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 121 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限（A）等于 （B）等于 （C）等于 e6 （D）不存在2 设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a)0，则（A）f(x)在 x=a 处间断（B） f(x)在 x=a 处间断（C） (x)2 在 x=a 处间断（D） 在 x=a 处间断3 “f(x)在点 a 连续”是f(x) 在点 a 处连续的( )条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充要（D）既非充分又非必要4 设数列 xn，y n 满足 xnyn=0，则下列正确的是（A）若 xn 发散，
2、则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必有界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小5 f(x)=xsinx（A）在( ，+)内有界（B）当 x+ 时为无穷大（C）在 (，+)内无界（D）当 x时有极限6 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 均不连续，则在 x=x0 处（A）f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续（B） f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定（C） f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续（D）f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定7 当 n时(1+ )ne 是 的（A
3、高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小8 设 f(x)= ，下列结论错误的是（A）x=1，x=0 ，x=1 为间断点（B） x=0 为可去间断点（C） x=1 为无穷间断点（D）x=0 为跳跃间断点9 把当 x0 +时的无穷小量 =tanxx，= 1 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， （C） ， （D），10 在 中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）二、填空题11 =_12 设 =3，则 f(x)=_13 设 K，L ， 为正的常数，则 Kx +(1)L x =_14 设 在点 x=0 处连续，则常数 a=_
4、15 1+x2e x2 当 x0 时是 x 的_阶无穷小(填数字)16 已 =9，则 a=_17 =_18 若 =_19 arctan(xlnx.sinx)=_20 xsinx=_21 =_22 设 =4，则 a=_，b=_23 函数 f(x)= 的连续区间是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 求下列极限：(17)25 设 xn+1=ln(1+xn)，x 10，(I) 求 xn； ()求26 设 a0 为常数， xn= ，求 xn27 (x3 sin3x+ax2 +b)=0，试确定常数 a，b 的值28 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：(I)y=(1+x)arc
5、tan ； (II)y=x)；( )y= ()=f(x)= ，x (0，2) ；()y=fg(x) ，其中 f(x)=29 设 0x 01，x n+1=xn(2x n)，求证：x n收敛并求 xn30 证明：31 设 (x)=0，且 f(x)f *(x)，g(x)g *(x)(xa)(I)当 xa 时 f(x)与 g(x)可比较，不等价( =)，求证：f(x)g(x) f *(x)g *(x)(xa)；(II)当 0xa 时 f(x)与 f*(x)均为正值，求证： (其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)32 设 f(x)在(a，b)连续，x 1，x 2，x n(a，b)， 1， 2， n
6、 为任意 n 个正数，求证： (a，b) ，使得33 设 f(x)在a，b连续，且 xa，b，总 ya，b，使得f(y) f(x)试证： a，b，使得 f()=034 设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，求证： f(t)dt=+35 设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，证明： f(nx)dx=A考研数学一（高等数学）模拟试卷 121 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 =1，本题为 1型设 f(x)= ，则原极限=而 故原极限= ，应选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】
7、连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选 (D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在 x=a 连续 f(x) 在 x=a 连续 (f(x) f(a)f(x)f(a) f(x)在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续如 f(x)= f(x)=1，f(x) 在 x=a 连续，但 f(x)在 x=a 间断因此，选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 直接考察若 为无穷小，则因此(D)成立【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 取 xn=2n+ (一，+)(n=
8、1，2，3，)，则 f(xn)=(2n+ (n) 因此 f(x)在(一 ，+) 无界选(C) 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 如：f(x)= 在 x=0 均不连续，但 f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0 在 x=0 均连续又如：f(x)= 在x=0 均不连续，而 f(x)+g(x)= f(x).g(x)= 在 x=0 均不连续因此选(D) 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 该题就是要计算极限因此选(D)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 计算可得 由于f(0+0)与 f(00)存在但不相等，故 x=0 不是 f(x)
9、的可去间断点应选(B) 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 因即当 x0 +时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除(A)与(D)又因即当x0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，可排除(B) ，即应选(C)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当n=3 并取“+”号时，即【知识模块】 高等数学二、填空题11 【正确答案】 3【试题解析】 原式= =3+0=3【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 12【试题解析】 由题设及 f(x)tanx=
10、0现利用等价无穷小因子替换 f(x)tanx(x0)， e 2x 一12x (x0) ， =12【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 K L1【试题解析】 属 1型极限原式= ，而因此，原式=e lnK+lnL1 =KL1 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)由于因此a= 2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 4【试题解析】 由于因此当 x0 时 1+x2 一 ex2 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 ln3【试题解析】 a=ln3【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 3【试题解析】
11、 本题属“ 0”型未定式数列极限不能直接用洛必达法则如用，得先转化成连续变量的极限，利用 求得，但比较麻烦事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 5【试题解析】 令 2x3=y，则故 =3+2=5【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 x 一 lnx.sinx=x(1 .sinx)，由于 x+时， 0，sinx 有界，故 .sinx0xlnx.sinx+ ，于是 arctan(x 一 lnx.sinx)= 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 1【试题解析】 本题属“0 0”型未定式利用基本极限 xx=1 及重要极限
12、 =1即得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时， 1，于是有而 =0，故由夹逼定理可知=0【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 ，1【试题解析】 利用洛必达法则可得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 (，1)(1，+)【试题解析】 初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待注意到 x=0 为分界点因为又 f(0)=3，因此 f(x)=f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续此外，由于函数 f(x)在点 x=1 处无定义，因此 x=1 为
13、 f(x)的间断点于是所给函数 f(x)的连续区间为(，1)(1，+)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 (1)属 型利用洛必达法则原式=(2)记 pn= (np n)=t，因此，原式=et (3) 属一型先通分，有故原式=e 0=1因此，原极限= (12)被积函数中含有参数 x，把因子 ex2 提到积分号外后，易见所求极限为“ ”型未定式应当想到洛必达法则，而且含积分上限函数的未定式，除有的题可联想到导数定义、积分中值定理外，多数得利用洛必达法则从而 x0 时，x n= x=0 时，xn=1，则 xn=1(17)分别求左、右极限：【知识
14、模块】 高等数学25 【正确答案】 (I)注意：xln(1+x) (x0)，于是 xn+1 一 xn=ln(1+xn)一 xn0 (n=1，2，3，) 极限 (a0) a=ln(1+a)又 a0时 aln(1+a)，故 a=0()【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 当 0a1 时 0x na n， an=0；当 a=1 时 xn= =0；当 a1 时 0 xn =0因此 xn=0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由题设知 (*)利用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有这表明 3+a=0 a=3将 a=3 代入(*) 式，即得故 b=【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 (
15、I)这是初等函数，它在定义域(x 21)上连续因此，x1 时均连续x=1 时， 故 x=1 是第一类间断点(跳跃的) 又 y=0，故 x=1 也是第一类间断点( 可去)()先求极限函数注意 =0(x1) ， =0(x1)，x1 时，x1 与x1 分别与某初等函数相同，故连续x=1 时均是第一类间断点(跳跃间断点)因左、右极限均 ，不相等()在区间(0，+)，1，0)上函数 y 分别与某初等函数相同，因而连续在 x=0 处 y 无定义，而x=0 是第一类间断点(可去间断点) ()f(x)= 是初等函数，在(0，2)内 f(x)有定义处均连续仅在 tan(x 无定义处及 tan(x )=0 处 f
16、x)不连续(V)先求 fg(x)表达式当x1，x1 时，fg(x) 分别与某初等函数相同，因而连续当 x=1 时，分别求左、右极限 故 x=1为第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 令 f(x)=x(2 一 x)，则 xn+1=f(xn)易知 f(x)=2(1 一 x)0，x(0，1)因 0x 01 x1=x0(2 一 x0)=1 一(x 0 一 1)2(0，1)若 xn(0，1)xn+1=xn(2 一 xn)(0，1)又 x1 一 x0=x0(1 一 x0)0xn=a由递归方程得 a=a(2 一 a)显然a0 xn=1【知识模块】 高等数学30 【正确答案】
17、令取对数化乘积为和差 故【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 (I)考察极限因此，f(x)一 g(x)f *(x)一 g*(x)(xa) ( )2+1=0+1=1，其中lnf*(x)=一 再证【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 依题设 n 个函数值 f(x1)，f(x 2)，f(x n)中一定有最小和最大的，不妨设 minf(x1)，f(x n)=f(x1)， maxf(x 1)，f(x n)=f(xn)，则 记 f(xi)，若=f(x1)，则 1(a，b) ，f()=；若 =f(xn)，则 n(a，b)，f()=若 f(x1)f(x n)，由定理知， 1 与 xn 之间，即 (a，
18、b)，f()=【试题解析】 只需证明： if(xi)是 f(x)在(a，b)内某两个函数值的中间值【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 反证法若在a，b 上 f(x)处处不为零，则 f(x)在a，b上或恒正或恒负不失一般性，设 f(x)0，x a，b，则0由题设，对此 x0， ya，b，使得 f(y)=f(y) f(x0)f(x 0)，与 f(x0)是最小值矛盾因此， a，b，使f()=0【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 因 由极限的不等式性质可知， X，当 xX时 f(x) ，则 xX 时有因此 f(t)dt=+【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 先作变量替换：这是 型数列极限将它转化为型函数极限，便可用洛必达法则求之，即【知识模块】 高等数学
