1、2002 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 的定义域为 ( )（A）2 ，3（B） -3，4（C） -3，4)（D）(-3，4)2 函数 y=xln(x+ )，(- x+) 是 ( )（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）不能断定3 点 x=0 是函数 y= 的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点4 当 x0 时，tan2x 是 ( )（A）比 sin5x 高阶无穷小（B）比 sin5x 低阶无穷小（C）与 sin5x 同阶无穷小（D）与 sin5x 等阶无穷小5 的值为
2、 ( )（A）e（B）（C） e2（D）06 函数 f(x)在点 x=x0 处的导数 f(x0)可定义为 ( )7 若 ，则 f(0)等于 ( )（A）4（B） 2（C）（D）8 过曲线 y=x+ex 的点(0，1)处的切线方程为 ( )（A）y+1=2(x-0)（B） y=2x+1（C） y=2x-3（D）y-1=x9 若在区间(a，b)内，导数 f(x)0，二阶导数 f(x)0，则函数 f(x)在区间内是 ( )（A）单调减少，曲线是凹的（B）单调减少，曲线是凸的（C）单调增加，曲线是凹的（D）单调增加，曲线是凸的10 f(x)= x3-3x2+9x 在区间 0，4 上的最大值点为 ( )
3、（A）4（B） 0（C） 2（D）311 函数 y=f(x)由参数方程 ( )12 ( )13 若 f(x2)= (x0)，则 f(x)= ( )（A）2x+C（B） lnx+C（C） +C（D） +C14 设函数 f(x)在(-，+)上连续，且 f(x)=x2- ，则 f(x)为 ( )15 定积分 的值是 ( )（A）e（B）（C）（D）216 若积分 收敛，则 k 满足 ( )（A）k1（B） k0) 取顺时针方向，则 Lydx-xdy)，= ( )（A）0（B）（C） a2（D）23 数项级数 (其中 a 是常数 )是 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法确定24 函
4、数 y=Csinx(C 为任意常数)是微分方程 y+y=0 的 ( )（A）通解（B）特解（C）解（D）不是解25 微分方程 y+2y+y=0 的通解为 ( )（A）C 1e-x+C2ex（B） C1+C2e-x（C） C1e-x+C2e-x（D）(C 1+C2x)e-x二、填空题26 设 f(ex)=x(x0)，则 f(x)=_27 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 b=_28 =_29 设 y=ln(Inxx)，则 dy=_30 设 y=f(sinx2)，f 为可导函数，则 =_31 若 =_32 曲线 y=x -arctanx的水平渐近线是_33 若 f(x)的一个原函数是 ex+
5、sinx，则 f(x)=_34 =_35 =_36 若直线 L： 与平面 ：x-2y+z-1=0 平行，则 m=_37 设 f(x，y， z)=In(xy+z)，则 (1，2，0)=_38 符函数 z=z(x，y)由方程 ez-xyz=0 确定，则 =_39 设 D：0x1，0y1 ，则积分 dxdy=_40 微分方程 y+my=n，(m0)，则满足条件 y(0)=0 的特解为_三、判断题41 定义在关于原点埘称的区间上的任何函数 f(x)均可表示为一个偶函数和一个奇函数之和 ( )（A）正确（B）错误42 设函数 f(x)在点 x=x0 处的导数不存在，则曲线 y=f(x)在(x 0，f(x
6、 0)处无切线 ( )（A）正确（B）错误43 若 f(x)与 g(x)均在 x=x0 处取得极大值，则 f(x)g(x)在 x=x0 处也取得极大值 ( )（A）正确（B）错误44 若 f(x，y)d0，则 f(x，y)0，(x，y) D.（A）正确（B）错误45 若正项级数 收敛，则级数 收敛 ( )（A）正确（B）错误四、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求47 设48 计算49 计算50 设 z=y3+xf(x，y)，其中 f(x，y)为可微函数，求 dz51 设 D 是由直线 x=1,y=2,y=x-1 所围成的区域，求 cosy2dxdy52 将函数 f(x)=ln(1+x)
7、展开为 x-1 的幂级数，并写出收敛区间53 求微分方程(y-xsinx)dx+xdy=0 的通解五、综合题54 求函数 f(x)=x+ 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点54 设过曲线 y=x2(x0)上的点 P(x0，y 0)作一切线，使得曲线、切线及 x 轴所围图形的面积为55 求切点 P 的坐标 (x0，y 0)56 求切线方程六、证明题57 试证：对任意自然数 n1，方程 xn+xn-1=1 在( ，1)内有唯一实数根2002 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 要使函数有意义，则 所以
8、定义域为x-3x4，应选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)= 所以f(x)是偶函数3 【正确答案】 D【试题解析】 =+，所以 x=0 是第二类间断点4 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，tan2x2x，sin5x 5x 又 所以tan2x 与 sin5x 是同阶无穷小，应选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 原式=6 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D，=f(x0)所以应选 D7 【正确答案】 D【试题解析】 ，所以 f(0)= ，应选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 曲线的斜率 k=y=1+ex，当 x=0 时，k=1+e 0=2。又因为过点(0，1)
9、，所以曲线过(0，1) 点的切线方程为 y=2x+19 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)0，所以 f(x)为单调增加；又 f(x)0，所以 f(x)是凹的，应选 C.10 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=x 2-6x+9=(x-3)20，所以 f(x)单调增加因此 x=4 是最大值点，应选 A11 【正确答案】 D【试题解析】 应选 D.12 【正确答案】 B【试题解析】 原式：= ，选 B.13 【正确答案】 C【试题解析】 令 u=x2，则 f(u)= ，两边积分得，f(u)= +C因此选 C14 【正确答案】 A【试题解析】 令 a= ，则 f(x)=x2-ax，两边积
10、分得，即 a= ，解得 a= ，所以 f(x)=x2-15 【正确答案】 D【试题解析】 令 =t，则 x=t2，dx=2tdt 当 x=0 时，t=0；当 x=1 时，t=1 则原式= =2，选 D.16 【正确答案】 A【试题解析】 只有当 1-k117 【正确答案】 B【试题解析】 直线 L 的方向向量为3，-1，4，平面 的法向量为6，-2，8因这两个向量对应分量成比例，因此直线 L 与平面， 垂直，选 B.18 【正确答案】 B【试题解析】 (xdx+ydy)，选 B.19 【正确答案】 B【试题解析】 因 z1，当 x=0，y=0 时，z=1 为极大值，故(0 ，0)为 z 的极值
11、点而 在(0，0)处无意义，所以(0，0)是函数 z 不可微点20 【正确答案】 B【试题解析】 原式=21 【正确答案】 D【试题解析】 I 的积分区域 D 为：(x，y)0y2，y 2x2y，积分区域 D 还可表示为：(x，y)0x4 ， 所以变换积分次序后为 ，选 D.22 【正确答案】 C【试题解析】 令 x=acost，y=asint ， 原式= (a2cos2t+asin2t)dt= a2dt=a2，选C23 【正确答案】 A【试题解析】 加绝对值后为 ，因当 n时， ，根据 P 级数的特点，知此级数收敛所以 收敛 综上所述， 绝对收敛24 【正确答案】 C【试题解析】 因为微分方
12、程的最高阶数是 2，如果是通解的话，应该有两个积分常数，但 y=Csinx 只有一个积分常数，所以 A 错误；如果是特解，积分常数是确定的，所以 B 错误；又因为 y=Csinx 满足微分方程 y+y=，所以选 C.25 【正确答案】 D【试题解析】 原微分方程的特征方程为 r2+2r+1=0，即(r+1) 2=0，解得 r1=r2=-1所以原微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e-x，选 D.二、填空题26 【正确答案】 lnx【试题解析】 令 t=ex，则 x=lnt，f(t)=lnt，所以 f(x)=lnx27 【正确答案】 1【试题解析】 因 f(x)在 x=0 处连续，所以 1=
13、(ax2+b)=b所以 b=128 【正确答案】 【试题解析】 原式=29 【正确答案】 【试题解析】 30 【正确答案】 2xcosx 2f(sinx2)【试题解析】 =f(sinx2).(sinx2)=f(sinx2)cosx 2(x2)=f(sinx2)cosx 2.2x 即=2xcosx2f(sinx2)31 【正确答案】 【试题解析】 两边同时对 x 求导，得 =0整理得 y=32 【正确答案】 y=1【试题解析】 综上所述，水平渐近线只有一条为 y=133 【正确答案】 e x-sinx【试题解析】 由已知得 f(x)=ex+cosx，则 f(x)=ex-sinx34 【正确答案】
14、 【试题解析】 原式=35 【正确答案】 【试题解析】 原式=36 【正确答案】 5【试题解析】 直线 L 的方向向量为m，2，-1 ，平面， 的法向量为1 ，-2，1，因为直线与平面平行 所以m ，2，-1.1，-2，1=0，即 m-5=0，因此 m=537 【正确答案】 1【试题解析】 f(x ，y，z)= ，所以 =138 【正确答案】 【试题解析】 两边同时对 x 求导，得 ez. =0，整理得39 【正确答案】 (e-1) 2【试题解析】 原式= =(e-1)240 【正确答案】 y=【试题解析】 先求 y+my=0 的解，则 =my，即 =-mdx，两边积分得，y=Ce -mx 令
15、 y=C(x)e-mx，代入原方程，得 C(x)e-mx-mC(x)e-mx+mC(x)e-mx=n，整理得 C(x)=nemx 两边积分得 C(x)= 所以 y= ，又 f(0)=0，所以 C= 所以y=三、判断题41 【正确答案】 A【试题解析】 设 g(x)=h(x)+f(x)，其中 h(x)为奇函数 f(x)为偶函数，利用函数的奇偶性， g(x)=h(-x)+f(-x)=-h(x)+f(x)，所以 f(x)= g(x)+g(-x)， h(x)= g(x)-g(-x)，因此结论成立42 【正确答案】 B【试题解析】 反例如 y= ，其导数为 y= ，在 x=1 处导数不存在，但 y= 在
16、 x=1 处切线存在，为 x=143 【正确答案】 B【试题解析】 反例如：设 f(x)=x2，g(x)=-x 2，f(x)和 g(x)都在 x=0 处取得极大值，但 f(x)g(x)=x4 在 x=0 处取得极小值44 【正确答案】 B【试题解析】 反例如：设 f(x，y)=x，D=x，y) -1x1，-1y1 则而 f(x，y)=x 在-1，1上并不是恒大于045 【正确答案】 A【试题解析】 若 收敛，则 ，则 收敛四、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 原式=47 【正确答案】 48 【正确答案】 令 x=tant，则 dx=sec2tdt 原式=49 【正确答案】
17、原式=xarctanx50 【正确答案】 因 则 dz= f(x，y)+(x，y)dx+3y 2+ (x，y)dy 51 【正确答案】 则52 【正确答案】 ln(1+x)=ln(2+x-1)=ln2又-1 1，即-1 x3，所以收敛区间是(-1，353 【正确答案】 原微分方程整理得 =sinx 变量分离得 两边积分得 y=C. 令 y=C(x). =sinx，整理得 C(x)=xsinx，两边积分得， C(x)=xsinxdx=-sdcosx=-(xcosx-cosdx)=sinx-xcosx+C 所以原微分方程的解为 y=-cosx+ (C 为任意常数) 五、综合题54 【正确答案】 函
18、数的定义域为xxR 且 x-1 则 f(x)=1-(x+1)-2= ，令 f(x)=0，则得 x=0，x=-2 为驻点 列表如下：所以 f(x)的单调增加区间为(-，2 0，+)，单调减少区间为-2 ，-1) (-1，0f(x)的极大值为 f(-2)=-3，极小值为 f(0)=1由 f(x)= 当 x-1 时，f(x)0，f(x)为凹函数所以 f(x)的凸区间为(-，-1)，f(x)的凹区间为(-1，+)又 f(x)在 x=-1 处无意义，所以 f(x)无拐点55 【正确答案】 如第 55 题图所示，设切点 P 的坐标为(x 0， ，则对应的切线方程为 y- =2x0(x-x0)，即 y=2x0- ，所以在 x 轴上 A 点坐标为( ，0)，根据题意得 ，整理得 =1，所以切点坐标为(1，1)56 【正确答案】 因切点坐标为(1，1)，切线斜率为 k=y (1,1)=2，所以切线方程为y=2x-1六、证明题57 【正确答案】 令 f(x)=xn+xn-1+x-1则f(1)=n-1，因 n1，所以 f(1)0因. f(1)0，所以至少存在一点 ( ，1)，使得 f()=0又 f(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+10，所以 f(x)单调增加，因此 f(x)=0 有且仅有唯一实根，即 f()=0，且 为唯一的，故方程(x n+xn-1+x)=1 在( ，1)内有唯一实数根
