1、专升本（高等数学一）模拟试卷 109 及答案与解析一、选择题1 若f(x)dx=xln(x+1)+C，则 等于 【 】（A）2（B） 2（C） l（D）12 若 f(x1)=x 21，则 f(x)等于 【 】（A）2x+2（B） x(x+1)（C） x(x1)（D）2x13 设函数 f(x)满足 f(sin2x)=cos2x，且 f(0)=0，则 f(x)= 【 】4 函数 z=x2xy+y 2+9x6y+20 有 【 】（A）极大值 f(4，1)=63（B）极大值 f(0，0)=20（C）极大值 f(4，1)= 1（D）极小值 f(4，1)=15 当 x0 时，与 x 等价的无穷小量是 【
2、】6 使 f(x)dx=1 成立的 f(x)为 【 】7 级数 是 【 】（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法确定敛散性8 方程 z=x2+y2 表示的曲面是 【 】（A）椭球面（B）旋转抛物面（C）球面（D）圆锥面9 已知 f(xy， xy)=x 2+y2，则 等于 【 】（A）2（B） 2x（C） 2y（D）2x+2y10 微分方程 y7y+12y=0 的通解为 【 】（A）y=C 1e3x+ C2e4x（B） y=C1e3x + C2e4x（C） y=C1e3x+ C2e4x（D）y=C 1e3x + C2e4x二、填空题11 _12 =_13 若 x=atcost，y=at
3、sint，则 =_14 (tan+cot)2d=_15 设 ，在 x=0 处连续，则 a=_16 =_17 设函数 z=x2ey，则全微分 dz=_18 设 _19 微分方程 y+6y+13y=0 的通解为_20 设 D 为 x2+y24 且 y0， _21 设 y=y(x)是由方程 2yx=(x y)lnx(xy) 确定的隐函数，求 dy22 已知曲线 y=ax4+bx3+x2+3 在点(1，6)处与直线 y=11x5 相切，求 a，b23 设xf(x)dx=arcsinx+C，求24 求25 求方程 y=e3x2y 满足初始条件 y|x=0=0 的特解26 设 z=ex(x2+y2)，求
4、dz27 ，其中 D 是由 y=x，y=0，x 2+y2=1 在第一象限内所围的区域28 一艘轮船以 20 海里小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 82海里处以 16 海里小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?专升本（高等数学一）模拟试卷 109 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了一元函数的导数及其极限的知识点因f(x)dx=xln(x+1)+C，所以2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点f(x1)=x 21，故 f(x)=(x+1)21=x 2+2x，则 f(x)=2x+23 【正确答案】 D【试题解析】
5、 本题考查了已知导函数求原函数的知识点由 f(sin2x)=cos2x，知f(sin2x)=1sin 2x令 u=sin2x，故 f(u)=1u所以 f(u)=u u2+C，由 f(0)=0，得 C=0所以 f(x)=x x24 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查了函数的极值的知识点因 z=x2xy+y 2+9x6y+20，于是=2xy+9， =x+2y6令 =0， =0，得驻点（4，1），又因故对于点（4，1），A=2， B=1，C=2，B 2AC=30，因此 z=f(x，y)在点（4，1）处取得极小值，且极小值为 f（4，1）=15 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了等价无穷小量
6、的知识点无穷小；对于选项 B，=1，故 ln(1+x)是 x0 时与 x 等价的无穷小；x2(x+1)是 x0 时的比 x高阶的无穷小6 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了反常积分的敛散性的知识点对于选项 A， 1+f(x)dx=1+ dx= |1+，故此积分收敛，且收敛于 1；对于选项 B， 1+f(x)dx=1+dx=lnx|1+=e1 不存在；对于选项 C， 1+f(x)dx=1+ex dx=e x |1+=e1 ，故此积分收敛，但收敛于 e1 ；对于选项 D， 1+f(x)dx=1+ dx=arctanx|1+=，故此积分收敛，但收敛于 ，故选 A7 【正确答案】 A【试题解析】
7、 本题考查了级数的绝对收敛的知识点用 ，故原级数等价于 ，所以级数绝对收敛8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查了二次曲面(旋转抛物面)的知识点旋转抛物面的方程为z=x2+y29 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查了复合函数的偏导数的知识点因 f(xy，xy)=x2+y2=(xy) 2+2xy，故 f(x，y)=y 2+2x，从而10 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点因方程y 7y+12y=0 的特征方程为 r27r+12=0，于是有特征根 r1=3，r 2=4，故微分方程的通解为 y=C1e3x+C2e4x二、填空题11 【正确答案】 【试题
8、解析】 本题考查了函数的极限的知识点12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了对 型未定式极限的知识点这是 一型，应合并成一个整体，再求极限13 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了对由参数方程确定的函数求导的知识点参数方程为x=(t)，y=(t) ，则14 【正确答案】 tan cot+C【试题解析】 本题考查了不定积分的知识点 (tan+cot) 2d =(tan2+cot2)d =(sec2+csc2)d =tan cot+C15 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查了函数在一点处的连续性的知识点又 f(0)=1，所以 f(x)在 x=0 连续应有a=1注：（无穷小量 有界量= 无
9、穷小量），这是常用极限，应记牢16 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了利用换元法求定积分的知识点令 x=sint，则dx=costdt17 【正确答案】 dz=2xe ydx+x2eydy【试题解析】 本题考查了二元函数的全微分的知识点则 dz=2xeydx+x2eydy18 【正确答案】 【试题解析】 本题考查了复合函数的一阶偏导数的知识点19 【正确答案】 y=e 3x (C1cos2x 十 C2sin2x)【试题解析】 本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点微分方程y+6y+13y=0 的特征方程为 r2+6r+13=0，特征根为=32i，所以微分方程的通解为 y=e3x (C
10、1cos2x 十C2sin2x)20 【正确答案】 4【试题解析】 本题考查了二重积分的知识点因积分区域为圆 x2+y2=22 的上半圆，则21 【正确答案】 方程两边对 x 求导有(注意 y 是 x 的函数)，2y1=(1y)ln(xy)+(xy) (1y)，整理得 y= ，所以 dy=dx注：本题还可用一阶微分的形式不变性解为2dydx=(dxdy)ln(xy)+(x y) (dxdy) ，所以3+ln(xy)dy=2+ln(xy)dx，因此 dy= dx22 【正确答案】 曲线过点(1，6)即点(1，6) 满足曲线方程， 所以 6=a+b+4， (1) 再 y=4ax3+3bx2+2x，
11、且曲线在点(1 ，6)处与 y=11x5 相切， 所以 y| x=1=4a+3b+2=11， (2) 联立(1)(2) 解得 a=3，b=123 【正确答案】 原式两边对 x 求导，得注：积分的结果应回到原变量 x 上，令 x=sint，所以 cost= 24 【正确答案】 令 ，则 x=t21，dx=2tdt，25 【正确答案】 原题可改写为 ，即 e2ydy=e3xdx，两边积分得代入初始条件 y|x=0=0，得 ，所以 C= ，故所求特解为 26 【正确答案】 由 z=ex(x2+y2)，则 =ex(x2+y2)x(x2+y2)=ex(x2+y2)(3x2+y2)，=ex(x2+y2)2
12、xy，所以，dz=e x(x2+y2)(3x2+y2)dx+2xydy注：本题用一阶微分的形式不变形可解为 dz=ex(x2+y2)dx(x2+y2)=ex(x2+y2)(x2+y2)dx+x(2xdx+2ydy)=ex(x2+y2)(3x2+y2)dx+2xydy27 【正确答案】 积分区域 D 如图所示，据被积函数特点 (含 x2+y2)，及积分区域的特点(扇形 )，该积分易用极坐标计算 D 可表示为 于是28 【正确答案】 设经过 t 小时两船相距 S 海里，则即 S2=(8216t) 2+(20t)2，所以(S 2)=2(8216t)(16)+220t20，令(S 2)=0，得驻点 t=2，即经过两小时后两船相距最近注：本题不用 S 而用 S2 是为了计算的简便，且 S2 与 S 同时取最值，另外，由于驻点是唯一的，故不必经过进一步的检验就可断定它就是所求最值点
