1、四川省专升本（高等数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知当 x0 时，(1+ax 2 与 cosx1 是等价无穷小，则 a= ( )（A）（B）（C）（D）2 下列极限不正确的是 ( )（A） =e（B） =e（C） =e（D） =e3 经过点(1 ，0) ，且切线斜率为 3x2 的曲线方程是 ( )（A）y=x 3（B） y=x3+1（C） y=x3 一 1（D）y=x 3+C4 dx= ( )（A）（B）（C）（D）5 设直线 L： 和平面 ：xyz+2=0，则 ( )（A）L 与 垂直（B） L 与 相交但不垂直（C） L 在
2、上（D）L 与 平行但 L 不在 上6 已知 D=(x，y) 0x1，0y1，则 xeydxdy= ( )（A）（B）（C） 1 一 e（D）e 一 17 设 z=ey2+1sin(x21)，则 = ( )（A）2xye y2+1cos(x21)（B） ey2+1+ey2+1sin(x21)（C） 4xyey2+1cos(x21)（D）4xye y2+1cos(x21)8 微分方程 +2y=ex 的通解是 ( )（A）Ce 2x+ e3x（B） Ce2x+ ex（C） Ce2x + e3x（D）Ce 2x + ex9 下列级数中，收敛的是 ( )（A）（B）（C）（D）10 若 A，B 都是方
3、阵，且A=2，B=1，则A 1 B= ( )（A）一 2（B） 2（C）（D）二、填空题11 设 z=x2y+sin y，则 =_12 =_13 若f(x)dx=e x+x+C，则cosx.f(sinx1)dx=_14 设 f(x)的 n1 阶导数为 ，则 f(n)(x)=_15 幂函数 的收敛半径为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 已知当 x0 时，( 1)与 sin2x 是等价无穷小量，求常数 a 的值17 设 f(x)=e3x，求 dx18 设 f(x，y)=cos(x 2y)，求 fxx19 计算 xydxdy，其中 D 如图所示，由 y=x，y=1 与 y 轴围成20 求
4、经过点 A(3，2，1) 和 B(1，2，3)且与坐标平面 xOz 垂直的平面的方程21 计算 ds，其中 L 是抛物线 y=x2 上点(0，0)与(1，1)之间的一段弧22 求常微分方程 的通解23 设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a1 有公共解，求 a的值及所有公共解四、综合题24 欲用板材作一容积为 a3 的长方体密封箱体，试问长、宽、高各为多少时，可以使板材最省?25 设平面薄片的方程可以表示为 x2+y2R2，x0，薄片上点(x，y)处的密度 (x，y)= ，求该薄片的质量 M五、证明题26 试证：当 x0 时，有不等式 xsinxx 一 四川省专升本（高等数学）模拟试卷
5、1 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，(1+ x2又(1+ 一 1cosx一 1，当 x0 时， x2，于是，有：2 【正确答案】 B【试题解析】 B 项：3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 y=3x2，则 y=x3+C又曲线过点(1，0)，得 C=1故曲线方程为 y=x3 一 14 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=sint，则 dx=costdt，当 x=0 时，t=0 ；x=1 时，t= ，所以5 【正确答案】 D【试题解析】 因为直线 L 过点(2，3，1)，且直线 L 的方向向量 s=(1，2，
6、1)，又平面 的法向量 n=(1，一 1，一 1)，所以 n.s=12+1=0，故直线 L 与平面 平行，但点(2 ，3，一 1)不在平面 上，所以直线 L 不在平面 上6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 z=e y2+1sin(x21)， =2xey2+1cos(x21)，2xey2+1.cos(x21)=4xye y2+1cos(x21)8 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性微分方程的通解公式 y=ep(x)dx (C+Q(x)ep(x)dxdx)=e2dx (C+exe2dxdx)=e2x (C+e3xdx)=ce2x + ex9 【正确答案】 C【
7、试题解析】 对于选项 A，显然 un 为分式，且含指数运算 3n，故宜用比值判别法判定其敛散性因 = =31，所以，级数发散对于 B 选项，u n= 是发散的，由级数的性质知 也发散，由比值判别法知， 发散对于 C 选项，un=n.sin = (xsinx ，0x )，由于 是 p=21 的 P 一级数收敛，所以由比值判别法知， 收敛，故选项 C 为正确选项，对于选项D，因 un= ， un= 0，所以由级数收敛的必要性知，级数 发散10 【正确答案】 C【试题解析】 因为AA 1 =1，A=2，所以A 1 = ，又因为B = 1 ，所以A 1 B= A 1 B=二、填空题11 【正确答案】
8、2x【试题解析】 由于 z=x2y+siny，可知 =2x12 【正确答案】 2【试题解析】 计算极限时一定要注意极限的不同类型，当 x0 时，本题不是“ ”型，所以直接利用极限的四则运算法则计算即可故13 【正确答案】 e sinx1 +sinx+C【试题解析】 cosx.f(sinx1)dx=f(sinx1)d(sinx1) =e sinx1 +sinx 一 1+C1 =esinx 1+sinx+C14 【正确答案】 【试题解析】 f (n1) (x)=f(n)(x)，即 f(n)(x)=15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 an=( 1)n1 ，a n+1(一 1)n所以收敛半径为
9、R= =2三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 由于当 x0 时，( 一 1)与 sin2x 是等价无穷小量，因此有解得 a=2【试题解析】 因为当 x0 时，( 1)与 sin2x 是等价无穷小量，所以有=117 【正确答案】 f(x)=3e 3x，f(lnx)=3e 3lnx=3x3，18 【正确答案】 由 =sin(x 2y).2xy， =sin(x 2y).x2，得 =cos(x 2y).4x2y2sin(x 2y).2y， =cos(x 2y).x4，因此 fxx(1， )=cos(x 2y).4x2y2sin(x 2y).2y =，f yy(1， )=cos(x
10、 2y).x4 =0【试题解析】 在做此题时要注意，对谁求偏导数只需把谁看成变量，其他都看成常数，用一元函数求导的方法求导即可19 【正确答案】 【试题解析】 计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分所给二重积分被积函数 xy 关于 x，y 对称，积分区域也较简单可以将二重积分转化为：先对 y 积分，后对 x 积分的累次积分也可以转化为：先对 x 积分，后对 y 积分的累次积分20 【正确答案】 与 xOz 平面垂直的平面平行于 y 轴，方程为 Ax+Cz+D=0， 把点 A(3，2，1)和点 B(1 ，2，3)代入上式得 3A+C+D=0， A3C+D=0 ， 由得 A= z+D=0消去 D
11、 得所求的平面方程为 x 一 2 一 z=0【试题解析】 由于所求平面与平面 xOz 垂直，可设所求平面的一般方程为Ax+Cz+D=0，再把点 A 和点 B 代入平面的一般方程即可21 【正确答案】 L：y=x 2，x 0，1，ds=dx=【试题解析】 本题考查定积分的计算，关键是求出弧长的微分 ds= ，再代入计算即可22 【正确答案】 令 x+y=u，则 ，uarctanu=x+C，yarctan(x+y)=C【试题解析】 本题考查一阶微分方程的通解求解先进行换元令 x+y=u，再进行求解即可23 【正确答案】 将组成方程组， 对它的增广矩阵 B施行初等行变换：由于有解，所以 r(B)=r
12、(A)(A 是的系数矩阵)，从而(a 一 1)(a 一 2)=0，即a=1，2当 a=1 时，与方程组 同解，它的解即 的公共解为 x=(x1，x 2，x 3)T=(C，0 ，一 C)T(C 是任意常数)当 a=2 时，与方程组同解，它的解即的公共解为 x=(0，1，一 1)T【试题解析】 本题是在“有公共解”的条件下，求 a 的值及所有公共解，利用线性方程组的系数矩阵与它的增广矩阵有相同的秩求解即可四、综合题24 【正确答案】 令 x，y 分别为箱体的长、宽，则高 z 应为 ，箱体的表面积为即 所求问题就是求二元函数 S=S(x，y)在区域 D=(x，y)x0，y0)上的最小值点，由解得唯一
13、驻点(a，a) D，显然，这个驻点就是最小值点，由x=y=a，得 z=a即当 x=y=z=a 时，板材最省【试题解析】 设箱体长、宽分别为 x，y，并与容积 a3 表示出表面积 S，通过=0，得唯一驻点，即得 S 的最小值25 【正确答案】 利用对称性依题设 由于区域 D 关于 x 轴对称， 为 x 的偶函数，记 D 在 x 轴上方的部分为 D1，则【试题解析】 由二重积分的物理意义知：该薄片的质量 M= (x，y)dxdy(其中(x，y)为密度函数)，而此积分的区域 D 为半圆，即 x2+y2R2(x0)，所以由下面解法可以得到质量 M 的结果五、证明题26 【正确答案】 先证 xsinx(
14、x0)设 f(x)=xsinx，则 f(x)=1 一 cosx0(x0)，所以 f(x)为单调递增函数，于是对 x0 有 f(x)f(0)=0，即 xsinx0，亦即xsinx(x0)再证 sinxx (x0)令 g(x)=sinxx+ ，则 g(x)=cosx1+x ， g(x)= sinx+10，所以 g(x)单调递增，又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0) ，那么有 g(x)单调递增又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)，所以 sinxx+ 0，即 sinxx (x0)综上可得：当 x0 时，xsinxx【试题解析】 可将不等式分成两部分来证，即：xsinx，sinx x 一 730，分别设 f(x)=xsinx 和 g(x)=sinxx+ 731，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出
