1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列的极限求解中，正确的是( )。2 下列级数收敛的是( ) 。3 设 a=-i+j+2k，b=3i+4k，用 b0 表示 b 方向上的单位向量，则向量 a 在 b 上的投影为( )。（A） b0（B） b0（C） b0（D）-b 04 设 f(x)在 x=x0 处可导， ，则 f(x0)=( )。（A）-4（B） -2（C） 2（D）45 函数 的水平渐近线方程是( )。（A）y=1（B） y=2（C） y=3（D）y=06 下列不定积分计算正确的是( )。二、填空题7 。8 若
2、 f(x)在 x=0 处连续，则 a=。9 设函数 的收敛半径为 3，则级数 的收敛区间。10 曲线 y=cosx，x 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所成体积为。11 曲线 y=xlnx 的平行于直线 y=x+2 的切线方程为。12 设 z= ，则全微分 dz=。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求 。14 。15 设 z=xy+x2f ，其中 f(u)为可微函数，求 。16 计算 。17 已知曲线 y=f(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线 2x+y-3=0,若 f(x)=3ax2+b，且 f(x)在 x=1 处取得极值，试确定 a，b 的值，并求出函数 y=f(x)
3、的表达式。18 计算 ，其中 D：x 2+y21。19 求微分方程 y”-2y-3y=3x+1 的通解。20 判断级数 的收敛区域。四、综合题21 求椭球面 在点 M0(1，2，3)处的切平面和法线方程。22 设平面图形由曲线 y=1-x2(x0)及两坐标轴围成。 (1)求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积； (2)求常数 a 的值，使直线 y=a 将该平面图形分成面积相等的两部分。23 有一边长为 48cm 的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?五、证明题24 设 f(x)在0,1 连续，
4、且 f(x)0xf(t)dt，证明 F(x)在 (0，1)内有且仅有一个零点。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为，而 sin(x2+1)有界，所以原式=0。2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度)。B 项用比较法通项 ，P1 ，发散，对于 C，由于 不存在，根据定义可知该级数发散，可排除。 D 项，根据莱布尼兹判别法，a n ，a n0，a n 单调下降，且 ，收敛，故此级数条件收敛。3 【正确答案】 B【试题解析】 根据
5、矢量 b 在 a 上的投影公式 。4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6lne-36-33。6 【正确答案】 A【试题解析】 。二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 用洛必达法则进行计算。8 【正确答案】 1【试题解析】 因为在 f(x)在 x=0 处连续，则 。9 【正确答案】 (-2，4)【试题解析】 因级数 收敛半径为 3，易知级数 的收敛半径也为 3，所以收敛区间为(-2，4)。10 【正确答案】 【试题解析】 。11 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 因为切线方程平行于直线，所以其斜率为 k=1。12 【正确答案】 【试题解析】 。三、解答题解
6、答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 原式 。17 【正确答案】 解：由“过原点的切线平行于 2x+y-3=0”，可知：f(x) x=0(3ax 2+b) x=0 -2 b-2 。“f(x) 在 x=1 处取得极值”(连续、可导) f(x) x=1(3ax 2+b) x=1=0 a=23f(x)=2x 2-2 y=f(x)=(2x2-2)dx= x3-2x+C1，又y(0)=0，得 C1=0 x3-2x。18 【正确答案】 解：19 【正确答案】 解：对应齐次方程的特征方程为 2-2-3=0，得 1=-1， 2=3。于是对应齐
7、次方程的通解为 C 1e-x+C2e3x(其中 C1，C 2 是任意常数)。因为 =0 不是特征根，所以可设方程的特解为 y*=Ax+B，将其代入原方程，得 A=-1，B= ，即y*=-x+ ，故微分方程 y”-2y-3y=3x+1 的通解为 y= +y*C 1e-x+C2e3x-x+ 。(其中C1，C 2 是任意常数 )20 【正确答案】 解：因为，所以所给幂级数，收敛区间为(-1，1)当 x=-1 时，幂级数 的 P 一级数，所以发散。当 x=1 时，幂级数 为交错级数，且是收敛的。四、综合题21 【正确答案】 解： 即6x+3y+2z-18=0，法线方程为： 。22 【正确答案】 解：如
8、图，利用定积分几何意义 (1)该平面绕 x 轴旋转所形成旋转体体积为 V=01(1-x2)2dx=01(1-2x2+x4)dx。(2)由题意，直线 y=a 将平面分成面积相等的两部分。23 【正确答案】 解：设截下的小正方形的边长为 xcm，则正方形容器的底边长48-2x,高为 x，容器为 V(x)=(48-2x) 2x，其中 x 的变化范围是 0x24， V(x)=(48-2x)(48-6x)，令 V(x)=0 得， 驻点坐标 x=8， x=24(舍去)， V”(x)=24x-384 ，V”(8)=-1920， 所以 x=8，是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是 V(8)=8 192。 当截去的小正方形的边长是 8 cm 时，容器的容积达到最大 8 192 cm3。五、证明题24 【正确答案】 证明：f(x)在0，1 上连续， F(x)在0，1连续。又 F(0)=-1f()， (0，1)f(x)0 。由零点定理知 F(x)在(0，1)内至少有一个零点。又 F(x)=2-f(x)0，F(x)在0，1 上严格单调增加，所以 F(x)在(0，1)内最多只有一个零点，从而 F(x)在(0，1)内有且仅有一个零点。
