1、考研数学三-概率论与数理统计(一)及答案解析(总分：790.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：79，分数：790.00)1.一条旅游巴士观光线共设 10 个站，若一辆车上载有 30 位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10 个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车求：() 这辆车在第 i 站停车的概率以及在第 i 站不停车的条件下在第 j 站停车的概率；() 判断事件“第 i 站不停车”与“第 j 站不停车”是否相互独立（分数：10.00）_2. （分数：10.00）_3.设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，随机变量
2、Y 为（分数：10.00）_4.设 A、B 是任意两个随机事件，其概率都大于零且小于 1，则下列事件中一定与事件 A 独立的是（分数：10.00）A.B.C.D.5.设 X 是连续型随机变量，且已知 lnX 服从正态分布 N(， 2)，求 X 与 X2的期望（分数：10.00）_6.将一枚骰子独立地重复掷 n 次，以 Sn表示各次掷出的点数之和() 证明：当 n时，随机变量 的极限分布是标准正态分布；() 为使 （分数：10.00）_7.已知 X1，X n是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S2() 如果 EX=，DX= 2，试证明： 的相关系数 （分数：10.
3、00）_8.设随机变量 X 与 Y 同分布， （分数：10.00）_9.设随机事件 A、B 相互独立，P(A)=p，0p1，且 A 发生 B 不发生与 A 不发生 B 发生的概率相同，令随机变量（分数：10.00）_10.设钢管内径服从正态分布 N(， 2)，规定内径在 98 到 102 之间的为合格品；超过 102 的为废品，不足 98 的是次品，已知该批产品的次品率为 15.9%，内径超过 101 的产品在总产品中占 2.28%，求整批产品的合格率（分数：10.00）_11.设连续型随机变量 X 的分布函数为求使得 （分数：10.00）_12.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为（分
4、数：10.00）_13.设随机变量 X 服从正态分布 N(0， 2)，Y=X 2，求 y 的概率密度 fY(y)（分数：10.00）_14.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)：0x2，0y2 上服从均匀分布，求矩阵 （分数：10.00）_15.设随机变量 X，Y 分别服从正态分布 N(1，1)与 N(0，1)，E(XY)=-0.1，则根据切比雪夫不等式 P-4X+2Y6_（分数：10.00）_16.随机变量(X，Y)在正方形区域 D=(x，y)：|x+y|1，|x-y|1 上服从均匀分布，求关于 X 的边缘密度与在 X=0 条件下，关于 Y 的条件密度 fY|X(y|0)（分数：10.
5、00）_17.设 1000 件产品中有 150 件次品，从中一次抽取 3 件，求：()取到的次品数 X 的概率分布；()最多取到 1 件次品的概率（分数：10.00）_18.某单位员工中有 90%的人是购买基金的基民，80%的人是喜欢上网的网民，40%的人是购买股票的股民，则该单位既是股民又是网民的员工所占的比例至少是_；在网民中基民所占比例至少是_（分数：10.00）_19.自动生产线在调整后出现废品的概率为 p(0p1)，当在生产过程中一但出现废品便立即停机重新调整，设 X 表两次调整间生产的合格品个数，求 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：10.00）_20.随机地向半圆 （分数：1
6、0.00）_21.设 X1，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为() 求未知参数 的矩估计量 ； () 求未知参数 的最大似然估计量 （分数：10.00）_22.设随机变量 X 与 Y 的联合密度为其中 D 是由两坐标轴与直线 x+y-1=0 所围有界平面区域(如图 11-1)求 X 与 Y 的相关系数（分数：10.00）_23.设统计量 Y 服从 F 分布 F(m，n)，F (m，n)满足 PYF (m，n)=，则 F1- (m，n)等于（分数：10.00）A.B.C.D.24.设每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，已知 k 次命中时击毁目标的概率为 1-gk(0q
7、1)现在对目标进行 n 次射击，求目标被击毁的概率（分数：10.00）_25.将 3 个球随机地放入 4 个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为 1，2，3 的概率（分数：10.00）_26.将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C 分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线 y=x2+Bx+C与 x 轴没有交点的概率 p（分数：10.00）_27.设随机变量 X 与 Y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是（分数：10.00）A.E(X-Y)=0B.D(X-Y)=0C.E(X2-Y2)=0D.EX(y-EY)=028.一水渠出口闸门挡板是边长为 1 的正方形，已知初始水
8、面高为 （分数：10.00）_29.设离散型随机变量 X 的概率分布为求 （分数：10.00）_30.设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为 0.001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为 0.01 的指数分布若随机变量 X 表示生产线无故障工作的时间，求 X 的分布函数 F(x)以及 PX100（分数：10.00）_31.设 A、B 是任意两个随机事件，下列中满足 P(A-C)=P(A)-P(C)的 C 是（分数：10.00）A.B.C.D.32.设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为（分数：10.00）_33.连续进行射击直到第二次击中目标为止，假设每次射击命中率为 p(0p1
9、)，求下列随机变量的概率分布() 首次击中目标所需进行的射击次数 X1；() 从首次命中到第二次命中目标所需进行的射击次数 X2；() 击中两次所需进行的射击总次数 Y。（分数：10.00）_34.设总体 X 服从自由度为 m 的 2分布，其概率密度是 f(x；m)X 1，X 2，X n是取自 X 的一个简单随机样本，其样本均值 （分数：10.00）_35.在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为 p1与 p2(0p 1，p 21)求：() 甲攻擂次数 X1的概率分布；() 乙攻擂次
10、数 X2的概率分布；() 擂主丙对甲、乙二人守擂总次数 X3的概率分布() 假设乙对丙的胜率 p2是 1/4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率（分数：10.00）_36.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)：0x1，0y1 上服从均匀分布，随机变量 U=(Y-X)2求 U 的期望与方差（分数：10.00）_37.某商店销售某种季节性商品，每售出一件获利 5(百元)，季度末未售出的商品每件亏损 1(百元)，以 X表示该季节此种商品的需求量，已知 X 等可能的取值1，100中的任一正整数，问商店应提前贮备多少件该种商品，才能使获利的期望值达到最大（分数：10.00）_38.已知
11、(X，Y)的联合密度函数() 求常数 A；(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)，并问 X 与 Y 是否独立?为什么?() 求条件概率密度 fX|Y(x|y)，f Y|X(y|x)及条件概率 （分数：10.00）_39.随机变量序列 X1，X n，相互独立且满足大数定律，则 Xi的分布可以是（分数：10.00）A.B.C.D.40.设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，又 （分数：10.00）_41.设 X1，X 2，X n，相互独立都服从参数为 2 的泊松分布，则当 n时， （分数：10.00）_42.设随机变量 U 服从标准正态分布 N(0，1)，随机变量（分数：10.00）_4
12、3.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，已知 PX0=1-e - 求：() PX1；() X 与 X2的协方差（分数：10.00）_44.每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率是 2%，一件次品被漏查误判为正品的概率是 10%试求：() 检验一箱产品能通过验收的概率；() 检验 100 箱产品通过率不低于 90%的概率（分数：10.00）_45.假设一大型设备在任何长为的时间间隔内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊忪分布，试求：() 相继两次故障之
13、间时间间隔 T 的概率分布；() 在设备已经无故障工作 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率 q（分数：10.00）_46.设随机事件 B 包含 A，则一定有（分数：10.00）A.B.C.D.47.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数 = （分数：10.00）_48.设离散型随机变量 X 的概率分布为PX=n=n2pn，n=0，1，2，试确定 a 与 p 的取值范围（分数：10.00）_49.设随机变量 X1与 X2相互独立都服从参数为 （分数：10.00）_50.设 A1，A 2是两个随机事件，随机变量 （分数：10.00）_51.设随机变量 X 在区间 （分数：
14、10.00）_52.设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为令随机变量 U=-X，V=X+Y， ，求：() U 的分布函数 F1(u)；() V 的分布函数 F2(v)；() W 的分布函数 F3(w)；() U 与 W 的联合分布函数 F(u，w)（分数：10.00）_53. （分数：10.00）_54.一条自动生产线连续生产 n 件产品不出故障的概率为 （分数：10.00）_55.设总体 Xi服从正态分布 分别是取自总体 Xi的样本均值与样本方差，i=1，2，且 X1与 X2相互独立() 求证 相互独立；() 如果 1= 2 ，令 ，求统计量 （分数：10.00）_56.设总体 X
15、服从0，上的均匀分布，X 1，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本（分数：10.00）_57.一条生产线生产的产品正品率为 p(0p1)，连续检查 5 件，X 表示在查到次品之前已经取到的正品数，求 X 的数学期望(在两次检查之间各件产品的质量互不影响)（分数：10.00）_58.设总体 X 服从二项分布 B(10，p)，x 1，x n是取自总体 X 的一个简单随机样本值求未知参数 p 的最大似然估计量 （分数：10.00）_59.一大批种子的发芽率是 99.8%，从中随机地选取 1000 粒进行试验，求这 1000 粒种子中发芽数目 X 的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率（分数
16、：10.00）_60.设某地区在一个月内发生重大交通事故的次数 X 服从参数为 的泊松分布(0)，现有九个月的样本观察值7，0，3，2，0，5，4，2，4，求一个月内无重大交通事故的概率 p 的最大似然估计值（分数：10.00）_61. （分数：10.00）A.B.C.D.62.甲袋中有 9 个白球与 1 个黑球共 10 个球，乙袋中只有 10 个白球，每次从甲、乙袋中随机地各取 1 个球，交换放入另一袋中，这样做了三次，求黑球仍在甲袋中的概率（分数：10.00）_63.设随机变量 X 在区间(0，1)上随机地取值，当 X 取到 x(0x1)时，Y 在(x，1)上随机地取值试求：()(X，Y)
17、的联合密度函数；()关于 Y 的边缘密度函数；()求在 Y=y 条件下，关于 X 的条件概率密度；()PX+Y1（分数：10.00）_64.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 服从参数 p=0.7 的 0-1 分布，Y 服从参数 =1 的指数分布，令 U=X-Y，求 U 的分布函数 G(u)（分数：10.00）_65.设总体 X 的概率密度为（分数：10.00）_66.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=ae-2|x|(-x+)，随机变量 Y1=|X|，Y 2=X2() 确定常数 a 的值；() 讨论 X 与 Yi(i=1，2)的相关性与独立性（分数：10.00）_67.设随机变量 X
18、 服从参数为 A 的指数分布，Y=e X，求 Y 的概率密度与分布函数（分数：10.00）_68.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y1 上服从均匀分布随机变量Z=max(X，Y)，求 EZ 与 DZ（分数：10.00）_69.某批产品优质品率为 80%，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是 90%，而将非优质品错判为优质品的概率是 20%，为了提高检验信度，每个产品均由 3 人组成的检查组，每人各自独立进行检验 1 次，规定 3 人中至少有 2 名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品假设各检验员检验水平相同求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率（分数
19、：10.00）_70. （分数：10.00）_71.假定某街道有 n 个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1:2今有一汽车沿该街道行驶，若以 X 表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求 X 的分布律（分数：10.00）_72. （分数：10.00）_73.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y1 上服从二维均匀分布，随机变量（分数：10.00）_74.设随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)：0x2，0y2 上服从均匀分布() 求 U=(X+Y)2的概率密度；() 求 V=max(X，Y)的概率密度；() 求 W=XY 的
20、概率密度；() 求 （分数：10.00）_75.设随机变量 X1服从参数为 2 的泊松分布，而 X2服从二项分布 B(4，0.5)，X 3服从区间-3，3上的均匀分布，判断以矩阵（分数：10.00）_76.设(X，Y)是二维随机变量，且随机变量 X1=X+Y，X 2=X-Y，已知(X 1，X 2)的概率密度函数为（分数：10.00）_77.甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为 0.7，乙为 0.6，试求二人试验成功次数相同的概率（分数：10.00）_78.一个正三棱锥的四个面上分别标有数字 1，2，3，4连续抛掷两次，以底面上数字作为掷出的数字，记 X，Y 分别表示两次
21、掷出数字的最大值与最小值计算 X+Y 与 X-Y 的协方差矩阵 （分数：10.00）_79.每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字 0，三张卡片都写有数字 1，另两张卡片上分别写有数字 2 与 9将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为 2001911 的概率是_（分数：10.00）_考研数学三-概率论与数理统计(一)答案解析(总分：790.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：79，分数：790.00)1.一条旅游巴士观光线共设 10 个站，若一辆车上载有 30 位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10 个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，
22、规定旅游车只在有乘客下车时才停车求：() 这辆车在第 i 站停车的概率以及在第 i 站不停车的条件下在第 j 站停车的概率；() 判断事件“第 i 站不停车”与“第 j 站不停车”是否相互独立（分数：10.00）_正确答案：(解 设事件 Am=“第 m 位乘客在第 i 站下车”(m=1，2，30)，B n=“第 n 站停车”，n=1，2，10() 依题意 A1，A 2，A 30相互独立，*类似地*在第 i 站不停车，即 Bi不发生的条件下，每位乘客都等可能地在第 i 站以外的 9 个站中任意一站下车，也就是说每位乘客在第 j 站下车的概率为*，因此有*()*)解析：2. （分数：10.00）_
23、解析：3.设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，随机变量 Y 为（分数：10.00）_解析：分析 易见 Y 是 X 的函数：Y=(-1) X由于 Y 是离散型随机变量，求其概率分布只需计算概率PY=-1与 PY=14.设 A、B 是任意两个随机事件，其概率都大于零且小于 1，则下列事件中一定与事件 A 独立的是（分数：10.00）A.B.C.D. 解析：*5.设 X 是连续型随机变量，且已知 lnX 服从正态分布 N(， 2)，求 X 与 X2的期望（分数：10.00）_正确答案：(解 令 y=lnX，则 X=eY，这是求正态分布随机变量 y 的函数的数字特征问题*用同样方法计算 EX2
24、：*)解析：6.将一枚骰子独立地重复掷 n 次，以 Sn表示各次掷出的点数之和() 证明：当 n时，随机变量 的极限分布是标准正态分布；() 为使 （分数：10.00）_正确答案：(证明与求解 ()设 X1，X 2，X n表示将一枚骰子独立地重复掷 n 次各次掷出的点数，易见它们是独立同分布随机变量，且 EXk=3.5(k=1，2，n)不难计算其方差：*由于 Sn=X1+X1+Xn，则*因此根据列维-林德伯格中心极限定理，知当 n，随机变量*的极限分布是标准正态分布() 掷骰子需要重复的次数 n，满足下列关系式：*由此可见*于是为满足所给条件，至少需要将骰子重复掷 1121 次)解析：*7.已
25、知 X1，X n是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S2() 如果 EX=，DX= 2，试证明： 的相关系数 （分数：10.00）_正确答案：(分析与证明 ()由于总体分布未知，因此只好应用定义与性质证明因为 X1，X n相互独立且与总体 x 同分布，故*，*所以*() 由于总体 XN(0， 2)，故 EXi=0，DX i= 2又*所以*其中*又*所以*故 cov(X 1，S2)=0)解析：8.设随机变量 X 与 Y 同分布， （分数：10.00）_解析：9.设随机事件 A、B 相互独立，P(A)=p，0p1，且 A 发生 B 不发生与 A 不发生 B 发生的概率相同，令随机变量（分数：10.00）_
