1、考研数学三-概率论与数理统计(二)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 A、B 是任意两个不相等的随机事件， 是必然事件，则下列命题中一定不正确的是（分数：4.00）A.A 与 相互独立B.A、B、 相互独立C.A、B、 是一个完备事件组D.B 与 是对立事件2.设 X1，X n，X n+1是来自总体 N(0，1)的样本，记 ，S 2分别为 X1，X n的样本均值及样本方差，则下列统计量中均值不为 0 的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.一大批产品中正、次、废品的比例为 3:2:1，每次取一个，不重复抽取了整个产品的 （
2、分数：4.00）A.B.C.D.4.设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 ，则 Y=2X 的概率密度是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)，F(x)分别是连续型随机变量 X 的概率密度函数与分布函数，则对于任意实数 x 都有（分数：4.00）A.PX=x=f(x)B.PX=x=F(x)C.PX=x=0D.0f(x)16.已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数等于 1 的充分必要条件是（分数：4.00）A.cov(X+Y，X)=0B.cov(X+Y，Y)=0C.cov(X+Y，X-Y)=0D.cov(X-Y，X)=07.设随机变量 X 的分布函数
3、为 F(x)，概率密度 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的概率密度，f 2(x)是参数为 的指数分布的概率密度若已知 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 U 在 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设总体 X 的方差存在，DX= 2，X 1，X 2，X 3，X 4是取自 X 的一个简单随机样本令Y1=X2+X3+X4，Y 2=X1+X2+X3，则 Y1与 Y2的相关系数 等于（分数：4.00）A.B.C.D.10.设总体 X 的概率密度是 f(x)，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本，则PX1=min(X1，
4、X 2，X n)=（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 A、B 是两个随机事件，已知 P(A)=a，P(B)=b，0ab1，且 a+b1则 P(AB)可能取到的最大值为_；最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_12.将一枚硬币重复掷五次，则正面与反面都出现过的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_13.某选择题有四个选项(四选一)，已知考生知道正确答案的概率为 ，该考生虽然知道正确答案但因粗心选错的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_14.设连续型随机变量 X 的概率密度为（分数：4.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 的概率密
5、度为（分数：4.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从区间(0，1)上的均匀分布，Y 服从 （分数：4.00）填空项 1:_17.已知随机变量 X 服从标准正态分布，在 X=x(xR)条件下随机变量 y 服从正态分布 N(x，1)，则 Y 的密度函数 fY(y)=_（分数：4.00）填空项 1:_18.设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，且 EX=2，EX 2=5，则 X 与 X2的协方差为_（分数：4.00）填空项 1:_19.设随机变量 X 与 Y 的期望分别为 与 2，方差都是 2，它们的相关系数 =0.5，则根据切比雪夫不等式，对任何 0，P|2X
6、-Y|_（分数：4.00）填空项 1:_20.设总体 XN(0， 2)，X 1，X 10是取自 X 的简单随机样本，令 ，统计量 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：70.00)21.设试验的成功率为 p(0p1)，连续进行独立重复试验，直到第三次成功为止，设随机变量 Y 表示取得三次试验成功所需要的试验次数，求 EY 与 DY（分数：10.00）_22.设随机变量 X 服从正态分布 N(1，4)，且（分数：10.00）_23.设随机变量 X 的概率密度为（分数：10.00）_24.保险公司接受了 10000 辆电动自行车的保险业务，每年保费 12 元若一年内丢失，赔
7、付 1000 元如果丢失率为 0.006，求：() 保险公司该项业务亏损的概率 ；() 保险公司一年内该项业务获利超过 40000 元的概率 （分数：10.00）_25.设 X1，X 2，X 3，X 4是取自正态总体 N(0，4)的简单随机样本，令 Y=5(X1-2X2)2+(3X3-4X4)2，求 PY2（分数：10.00）_26.设总体 X 在区间 （分数：10.00）_27.设总体 X 的概率密度为（分数：10.00）_考研数学三-概率论与数理统计(二)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 A、B 是任意两个不相等的随机事
8、件， 是必然事件，则下列命题中一定不正确的是（分数：4.00）A.A 与 相互独立B.A、B、 相互独立C.A、B、 是一个完备事件组 D.B 与 是对立事件解析：分析 由于 A、B 的任意性，假若 A、B 中有一个概率为零，不妨设 P(B)=0，此时有 A、B、 相互独立，理由如下：0=P(AB)=P(A)P(B)=0；P(A)=P(A)P()；P(B)=P(B)P()；P(AB)=P(AB)=P(A)P(B)P()因而可排除(A)，(B)对于选项(C)：因 AB，则 A 与 B 不能都是不可能事件，不妨设 A*，则 A 与 相容，即 A、B、 不能是一个完备事件组，应选(C)2.设 X1，
9、X n，X n+1是来自总体 N(0，1)的样本，记 ，S 2分别为 X1，X n的样本均值及样本方差，则下列统计量中均值不为 0 的是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 *故*3.一大批产品中正、次、废品的比例为 3:2:1，每次取一个，不重复抽取了整个产品的 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 设整批产品有 6n 个，正品 3n 个，次品 2n 个，废品 n 个，由于是不重复抽取，因此 X 服从超几何分布，其概率函数为*在超几何分布中，产品总数 N=6n，正品数 N1=3n，非正品数 N2=3n 都很大，因此 X 可以用二项分B(2n，0.5)近似计算即 X 不服从
10、二项分布，仅仅是近似服从二项分布，其中分布参数 2n 虽很大但是p=0.5 并不是很小，因此 X 不能认为近似服从泊松分布，它只能根据拉普拉斯中心极限定理近似服从正态分布，应选(D)4.设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 ，则 Y=2X 的概率密度是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于函数 y=2x 是 x 的严格单调函数，其反函数*的导数*0，根据单调函数求概率密度的公式，Y=2X 的概率密度为*，应选(C)5.设 f(x)，F(x)分别是连续型随机变量 X 的概率密度函数与分布函数，则对于任意实数 x 都有（分数：4.00）A.PX=x=f(x)B.PX=x=F(x)C
11、.PX=x=0 D.0f(x)1解析：分析 由于连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)是连续函数，所以 PX=x=F(x)-F(x-0)=0，应选(C)6.已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数等于 1 的充分必要条件是（分数：4.00）A.cov(X+Y，X)=0B.cov(X+Y，Y)=0C.cov(X+Y，X-Y)=0D.cov(X-Y，X)=0 解析：分析 由题设 DX=DY0，根据“对称性”知选项(A)、(B)不成立(否则，(A)正确必然导致(B)正确)，(C)是恒等式(cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0)，故应选(D)事实上，*7.设随机变
12、量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的概率密度，f 2(x)是参数为 的指数分布的概率密度若已知 ，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 易见 4 个选项都满足概率密度的性质：*又依题意*，可知*，即*从而*，应选(A)8.设随机变量 U 在 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *类似地可以计算出*因*，且 cov(X，y)0，所以-10，应选(D)*9.设总体 X 的方差存在，DX= 2，X 1，X 2，X 3，X 4是取自 X 的一个简单随机样本令Y1=X2+X3+X4，Y 2=X
13、1+X2+X3，则 Y1与 Y2的相关系数 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 根据简单随机样本性质，X 1，X 4相互独立且与总体 X 同分布由于*DY1=D(X2+X3+X4)=DX2+DX3+DX4=3 2，DY2=D(X1+X2+X3)=3 2，cov(Y1，Y 2)=cov(X2+X3+X4，X 1+X2+X3)=cov(X2，X 1+X2+X3)+cov(X3，X 1+X2+X3)+cov(X4，X 1+X2+X3)=DX2+DX3=2 2，所以*故应选(C)10.设总体 X 的概率密度是 f(x)，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本，则PX1=m
14、in(X1，X 2，X n)=（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 X 1，X 2，X n相互独立与 X 同分布，其联合概率密度为*应选(A)二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 A、B 是两个随机事件，已知 P(A)=a，P(B)=b，0ab1，且 a+b1则 P(AB)可能取到的最大值为_；最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a，a+b-1）解析：分析 由于事件*，因此P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，P(AB)minP(A)，P(B)，即 P(AB)可能取到的最大值为 a又根据加法公式及 P(AB)1，有P(AB)=P(A)+P(B)-
15、P(AB)a+b-1，因此 P(AB)可能取得的最小值为 a+b-1，且只有当 P(AB)=1 时，P(AB)=a+b-112.将一枚硬币重复掷五次，则正面与反面都出现过的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 设事件 A、B 分别表示掷五次中正面与反面都出现过，则*13.某选择题有四个选项(四选一)，已知考生知道正确答案的概率为 ，该考生虽然知道正确答案但因粗心选错的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：， ）解析：分析 设事件 A1=“该考生不知道正确答案”，A 2=“知道正确答案，但因粗心选错”，A 3=“知道正确答案且是正确答对”，易见 A1
16、，A 2，A 3构成一个完备事件组，且*设事件 B 表示“答对题目”，则有*根据全概率公式及贝叶斯公式*14.设连续型随机变量 X 的概率密度为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1.886）解析：分析 首先应确定概率密度中的未知参数 a，然后由概率等式 PXc=0.975 解出 c*15.设随机变量 X 的概率密度为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 当 x0 时，F(x)=0；当 x6 时，F(x)=1；当 0x1 时，*当 1x3 时，*当 3x6 时，*于是 X 的分布函数为*16.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从区间(0，1)上的均匀分布，
17、Y 服从 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.855）解析：分析 依题意，X，Y 相互独立，且它们的概率密度与联合概率密度分别为*设事件 A 表示“方程 t2+2Xt+Y=0 无实根”，则P4X2-4Y0=PX 2Y*17.已知随机变量 X 服从标准正态分布，在 X=x(xR)条件下随机变量 y 服从正态分布 N(x，1)，则 Y 的密度函数 fY(y)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 由题设知 X 的密度函数*，Y 的条件密度函数 fY|X(y|x)=*，所以(X，Y)的联合密度函数*由此可知(X，Y)服从二维正态分布*18.设随机变量 X 服从二
18、项分布 B(n，p)，且 EX=2，EX 2=5，则 X 与 X2的协方差为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 由于 cov(X，X 2)=EX3-EXEX2，所以我们先需要计算出 EX3为此我们应首先确定 X 的分布参数 n，P依题意 EX=np=2，DX=np(1-p)=EX 2-(EX)2=1，解关于 n，p 的方程组，得*，n=4于是*19.设随机变量 X 与 Y 的期望分别为 与 2，方差都是 2，它们的相关系数 =0.5，则根据切比雪夫不等式，对任何 0，P|2X-Y|_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 令随机变量 Z=2X-Y
19、，则有EZ=E(2X-Y)=2EX-EY=0，*根据切比雪夫不等式*20.设总体 XN(0， 2)，X 1，X 10是取自 X 的简单随机样本，令 ，统计量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 由于正态总体的样本均值*与样本方差 S2相互独立，并且*-*，所以有*由于*相互独立，根据 F 分布的性质，有*因此*三、解答题(总题数：7，分数：70.00)21.设试验的成功率为 p(0p1)，连续进行独立重复试验，直到第三次成功为止，设随机变量 Y 表示取得三次试验成功所需要的试验次数，求 EY 与 DY（分数：10.00）_正确答案：(解 设 X1表示首次试验成功所需的试
20、验次数，X i表示从第 i-1 次成功到第 i 次成功所需试验次数，i=2，3，易见 Y=X1+X2+X3且 X1，X 2，X 3相互独立都服从参数为 p 的几何分布，即)解析：22.设随机变量 X 服从正态分布 N(1，4)，且（分数：10.00）_正确答案：(解 尽管随机变量 X 是连续型的，但是其函数 Y 与 Y 的函数 Z 均为离散型() 随机变量 Z 只取-/2，0 与 /2 三个可能值()解析：23.设随机变量 X 的概率密度为（分数：10.00）_正确答案：(解 () 设 Fi(yi)与 fi(yi)分别表示 Yi的分布函数与概率密度 i=1，2，则当 y11 时，F1(y1)=
21、0；当 y14 时，F 1(y1)=1；于是 Y1的概率密度为当|y 2|1 时，F 2(y2)=0；当|y 2|8 时，F 2(y2)=1；于是 Y2的概率密度为() 由于 X 与 Y2的概率密度都是偶函数，故 X5与 Y2的数学期望都是零，即)解析：24.保险公司接受了 10000 辆电动自行车的保险业务，每年保费 12 元若一年内丢失，赔付 1000 元如果丢失率为 0.006，求：() 保险公司该项业务亏损的概率 ；() 保险公司一年内该项业务获利超过 40000 元的概率 （分数：10.00）_正确答案：(解 设 10000 辆车中一年内丢失数为 X，则 XB(10000，0.006
22、)，EX=60，DX=59.64() 依题意，如果赔付额超过保费收入 120000 元(为简单未计人经营成本)，即一年内丢失车辆超过，则该项业务将亏损由于 X 服从二项分布且 n 相当大，因此，根据拉普拉斯定理 X 近似服从正态分布 N(60，59.64)于是() 若要期望获利超过 40000 元，即赔付金额不能超过 80000 元，这时年丢失车辆数 X 应不超过 80 辆，于是)解析：25.设 X1，X 2，X 3，X 4是取自正态总体 N(0，4)的简单随机样本，令 Y=5(X1-2X2)2+(3X3-4X4)2，求 PY2（分数：10.00）_正确答案：(解 因 X1-2X2N(0，20
23、)， ，类似地， ，又因 X1-2X2与 3X3-4X4相互独立，根据 2分布的应用模式可知查 2 个自由度，上分位数为 0.02 的 2分布上分位数表，可得概率 )解析：26.设总体 X 在区间 （分数：10.00）_正确答案：(解 由于 X 的概率密度为因此其似然函数为解不等式 最大似然估计值 可以取区间 )解析：27.设总体 X 的概率密度为（分数：10.00）_正确答案：(解 设 x1，x 2，x n是样本 X1，X 2，X n的观察值，则似然函数为将 lnL 对 求导数得到似然方程为解得 ，因此 的最大似然估计量为() 为求 的矩估计，我们要先计算 EX(记 EX=)，通过 与 EX 的关系得到 的矩估计量解方程 ，得 ，因此 矩估计量为 ，其中 )解析：
