1、考研数学三（微积分）-试卷 45 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）在（一，+）内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0 必是 g（x）的第一类间断点B.x=0 必是 g（x）的第二类间断点C.x=0 必是 g（x）的连续点D.g（x）在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关3.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=4dC.a=4cD.a=4c4.设 （分数：2.00）A.f（x）在 x=x 0 处必可导且 f“（x 0 ）=a
2、B.f（x）在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f（x）在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对5.设0，4区间上 y=f（x）的导函数的图形如图 121 所示，则 f（x）（ ） （分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的C.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的6.设 f（x）有二阶连续导数，且 f“（0）=0， （分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的极大值B.f（0）是 f（x
3、）的极小值C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（0）不是 f（x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点7.设一元函数 f（x）有下列四条性质。f（x）在a，b连续；f（x）在a，b可积；f（x）在a，b存在原函数；f（x）在a，b可导。若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f（x，y）可微，且对任意 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2B.x 1 x 2 ，y 1 y 2C.x 1 x 2 ，y 1 y 2D.x 1 x 2 ，y 1 y 29.设函数 f（x）连续，若 F（u
4、，）= 其中区域 D 为图 141 中阴影部分，则 （分数：2.00）A.f（u 2 ）B.C.f（u）D.10.设 a n 0（n=1，2，），且 a n 收敛，常数 则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关11.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x（C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数）为通解的是（ ）（分数：2.00）A.y“+y“4y“4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“y“4y“+4y=0D.y“y“+4y“4y=0二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.若 f（x）= （分数：
5、2.00）填空项 1:_13.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设 z=z（x，y）由方程 z+e z =xy 2 所确定，则出= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19.若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.将函数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程（y+x 3 ）dx 一 2xdy=0 满足 yx=| x=1
6、 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求函数 （分数：2.00）_24.设 f（x）在（一，+）内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f（x+），）=f（x）e y +f（y）e x ，又设 f“（0）存在且等于 a（a0），试证明对任意 x，f“（x）都存在，并求 f（x）。（分数：2.00）_25.设 eab e 2 ，证明 ln 2 b 一 ln 2 a （分数：2.00）_26.（）比较 0 1 ln t| ln（1+t） n dt 与 0 1 t n |Int|
7、dt（n=1，2，）的大小，说明理由。（）记 u n = 0 1 |ln t|ln（1+t） n dt（n=1，2，），求极限 （分数：2.00）_27.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_28.设 z=f（x，y），x=g（y，z）+ 其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_29.求曲线 x 3 xy+y3=1（x0，y0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（分数
8、：2.00）_30.计算二重积分 （分数：2.00）_31.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n2 一 n，（n1）a n =0（n2）。S（x）是幂级数 （分数：2.00）_32.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx2y“sinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 45 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）在（一，+）内有定义，且 （分
9、数：2.00）A.x=0 必是 g（x）的第一类间断点B.x=0 必是 g（x）的第二类间断点C.x=0 必是 g（x）的连续点D.g（x）在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关 解析：解析：因为 又 g（0）=0，所以当 a=0 时，有 此时 g（x）在点 x=0 处连续，当 a0 时，3.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=4dC.a=4cD.a=4c 解析：解析：当 x0 时，由佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln（12x）均为 x 的一阶无穷小；而1cosx，1 均为 x 的二阶无穷小，因此有 故有4.设 （分数：2.00）A.f（x）在 x=x 0 处必可导且 f“（
10、x 0 ）=aB.f（x）在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f（x）在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对 解析：解析：本题需将 f（x）在 x=x 0 处的左、右导数 f “ （x 0 ），f + “ （x 0 ）与在 x=x 0 处的左、右极限 但不能保证 f（x）在 x 0 处可导，以及在 x=x 0 处连续和极限存在。 5.设0，4区间上 y=f（x）的导函数的图形如图 121 所示，则 f（x）（ ） （分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的 C.在0，1，3
11、，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的解析：解析：当 x（0，1）或（3，4）时，f“（x）0，那么 f（x）在0，1，3，4单调下降。 当x（1，3）时 f“（x）0，那么 f（x）在1，3单调上升。 又 f“（x）在0，2单调上升，那么f（x）在0，2是凹的。f“（x）在2，4单调下降，那么 f（x）在2，4是凸的。 故选 B。6.设 f（x）有二阶连续导数，且 f“（0）=0， （分数：2.00）A.f（0）是 f（x）的极大值B.f（0）是 f（x）的极小值 C.（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点D.f（
12、0）不是 f（x）的极值，（0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点解析：解析：根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域 U （0），使对任意 xU （0），都有 7.设一元函数 f（x）有下列四条性质。f（x）在a，b连续；f（x）在a，b可积；f（x）在a，b存在原函数；f（x）在a，b可导。若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（ ）（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：这是讨论函数 f（x）在区间a，b上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f（x）在a，b上可导8.设函数 f（x，y）可微，且对任意 x，y 都有 （分数：2.00）A
13、.x 1 x 2 ，y 1 y 2B.x 1 x 2 ，y 1 y 2C.x 1 x 2 ，y 1 y 2D.x 1 x 2 ，y 1 y 2 解析：解析：由 9.设函数 f（x）连续，若 F（u，）= 其中区域 D 为图 141 中阴影部分，则 （分数：2.00）A.f（u 2 ） B.C.f（u）D.解析：解析：题设图像中所示区域用极坐标表示为 0，1ru。 因此可知 根据变限积分求导可得 10.设 a n 0（n=1，2，），且 a n 收敛，常数 则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析：解析：利用比较法。因为 而由正项级数 11.在下列微分方
14、程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x（C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数）为通解的是（ ）（分数：2.00）A.y“+y“4y“4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“y“4y“+4y=0D.y“y“+4y“4y=0 解析：解析：已知题设的微分方程的通解中含有 e x 、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为 r=1，r=+2i，所以特征方程为 （r1）（r2i）（r+2i）=0，即 r 3 一 r 2 +4r4=0。 因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为 y“一 y“+4y“4y=0。二、填空题(总
15、题数：10，分数：20.00)12.若 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 f（x）在（一，0）及（0，+）内连续，所以需要确定数 a，使 f（x）在 x=0 处连续。13.设函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 | x=0 =f“（一 1）f“ -|_|-，而当 x1 时，f“（x）=2，因此f“（1）=f“ -|_|-=2，代入可得 14.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x1）解析：解析：由
16、题干可知，所求切线的斜率为 1。 由 y“=（lnx）“=15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：17.设 z=z（x，y）由方程 z+e z =xy 2 所确定，则出= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：方程两端对 x 求偏导，18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1sin1）解析：解析：积分区域 D 如图 1412 所示19.若数列a n 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
17、确答案：收敛）解析：解析：由题干知，级数 （a n+1 a n ）的部分和数列为 S n =（a 2 a n ）+（a 3 a 2 ）+（a n+1 a n ）=a n+1 a 1 ， 因为数列a n 收敛，所以S n 收敛。 因此，级数 20.将函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对已知函数从 0 到 x 求积分，有21.微分方程（y+x 3 ）dx 一 2xdy=0 满足 yx=| x=1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：公式法。原方程变形为 由一阶线性微分方程通解公式得三、解答题(总题数：11，分数：2
18、2.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f（x）有间断点 x=0，x=1，x=1，且 )解析：24.设 f（x）在（一，+）内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f（x+），）=f（x）e y +f（y）e x ，又设 f“（0）存在且等于 a（a0），试证明对任意 x，f“（x）都存在，并求 f（x）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=y=0 代入 f（x+y）=f（x）e y +f（y）e x ，得 f（0）=0，为证明 f“（x）存在，则由导数的定义 )解析：2
19、5.设 eab e 2 ，证明 ln 2 b 一 ln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 y=ln 2 x 在a，6上应用拉格朗日中值定理，得 当 te 时，“（t）0，所以 （t）单调减少，从而有 （）（e 2 ），即 )解析：26.（）比较 0 1 ln t| ln（1+t） n dt 与 0 1 t n |Int|dt（n=1，2，）的大小，说明理由。（）记 u n = 0 1 |ln t|ln（1+t） n dt（n=1，2，），求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令 f（t）=In（1+t）t。 当 0t1 时，f“（t）= 一 10，故当
20、0t1 时，f（t）f（0）=0，即当 0t1 时， ln（2+t） n t n （n=1，2，）。 又由 llnt I 0 得 0 x f|lnt|ln（1+t） n dt 0 1 t n |lnt|dt（n=1，2，）。 （）由（）知，0u n = 1 x |lnt|ln（1+t） n dt 0 x t n |lnt|dt，因为 0 1 lnt| dt=一 0 x t n （lnt）dt )解析：27.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线
21、y=ax 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设曲线 L 的方程为 y=f（x），则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 又 f（1）=0，所以 C=a。 故曲线 L 的方程为 y=ax 2 ax（x0）。（）L 与直线 y=ax（a0）所围成平面图形如图 132 所示。 所以 D=ax（ax 2 ax）dx， )解析：28.设 z=f（x，y），x=g（y，z）+ 其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=f（x，y），有 dz=f 1 “ dx+f 2 “ dy。 )解析：29.求曲线 x
22、3 xy+y3=1（x0，y0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 L（x，y）=x 2 +y 2 +（x 3 xy+y 3 1）， 令 得唯一驻点x=1，y=1，即 M 1 （1，1）。 考虑边界上的点，M 2 （0，1），M 3 （1，0），距离函数 f（x，y）= 在三点的取值分别为 f（1，1）= ，f（0，1）=1，f（1，0）=1，因此可知最长距离为 )解析：30.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是正方形区域（如图 1420）。因在 D 上被积函数分块表示为 于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分
23、成两块： D=D 1 D 2 ，D 1 =Dyx，D 2 =Dyx。 则 )解析：31.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n2 一 n，（n1）a n =0（n2）。S（x）是幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）证明：由题意得 因为由已知条件得 a n =（n+1）（n+2）a n+2 ，（n=0，1，2，0），所以 S“（x）=S（x），即 S“（x）S（x）=0。 （）S“（x）S（x）=0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 2 1=0，从而 =+1，于是 S（x）=C 1 e x +C 2 e x ，由 S（0）=a 0 =3，S“（0）=a 1 =1，得 )解析：32.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx2y“sinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y“=u“secx+usecxtanx， y“=u“secx+2u“secxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x 代入原方程，得 u“+4u=ex。这是一个二阶常系数非齐次线性方程，解得其通解为 +C 1 cos2x+C 2 sin2x。 代回到原来函数，则有 y= )解析：
