1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 144 及答案与解析一、填空题1 已知方程 的两个特解 y1e x，y 2x，则该方程满足初值y(0)1，y(0) 2 的解 y_2 微分方程 y6y9y0 的通解 y_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 求下列微分方程的通解：(I)(x 一 2)dyy2(x 一 2)3dx； ()y2dx(x y 2 )dy；()(3y 一 7x)dx(7y 一 3x)dy0； () 一 3xyxy 24 求下列微分方程的通解或特解：(I) 一 4y4x 2，y(0) ，y(0)2；()2ye xcosx5 求方程 y 2myn 2y0 的通解；又设 yy(
2、x) 是满足 y(0)a ，y(0)b 的特解，求 y(x)dx，其中 m n0，a ，b 为常数6 设 yy(x)在 0，)内可导，且在 x0 处的增量yy(x x)一 y(x)满足y(1y) ，其中当x0 时 是x 的等价无穷小，又 y(0)2，求 y(x)7 设函数 f(x)连续，且 f(t)dtsin 2x tf(x 一 t)dt求 f(x)8 设有微分方程 y一 2y(x)，其中 (x) 试求：在(一，)内的连续函数 yy(x)，使之在( 一 ，1)和 (1，)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)09 设函数 f(x)在0，)上连续，且满足方程 f(t)，试求 f(t)10 已知
3、y1*xe xe 2x，y 2*xe xe x，y 3*xe xe 2xex 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程11 求解初值问题12 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：是方程 yp(x)y0 的所有解13 设连接两点 A(0，1) ， B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图64)已知凸弧与弦 AP 之间的面积为 x3，求此凸弧的方程 14 在0 ，)上给定曲线 yy(x)0，y(0)2，y(x)有连续导数已知x0，0 ，x 上一段绕 x 轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积，求
4、曲线 y y(x)的方程15 设 f(x)为连续正值函数，x 0，)，若平面区域Rt(x，y)0xt ，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 yf(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 之和，求 f(x)16 设曲线 yy(x) 上 点(x，y) 处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线 yy(x)的方程17 求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆18 设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受 1 克重量的外力作用时伸长 厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?19 5kg 肥皂溶于 300L 水中后，
5、以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1 kg 肥皂20 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(一 1，0) 与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x ，y) ，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件21 已知 ， 都是单位向量，夹角是 ，求向量 2 与一 32 的夹角22 若 ，6，3，一 2，而 14，求 23 若 ， 是单位向量且满足 0，求以 ， 为边的平行四边形的面积24 已知 ， 不共线
6、，证明 0 的充要条件是 25 把直线 L 的方程 化为对称方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 144 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 e xx【试题解析】 因 y1，y 2 线性无关，该方程的通解 yC 1exC 2x由初始条件得C11，C 1C 22 C11，C 21 ye xx【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 (C 1C 2x)e3x【试题解析】 特征方程 26 90，即(3) 20通解为 y(C 1C 2x)e3x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 (I)原方程改写成 2(x 2)2(一阶
7、线性方程)，两边乘 2(x 一 2)积分得 y(x 一 2)2C 通解 y(x 一 2)3C(x 一 2)，其中 C 为任意常数.(II) 原方程改写成 (以 y 为自变量，是一阶线性的)两边乘通解 ，其中 C 为任意常数()原方程改写成通解为(x 一 y)2(xy)5C，其中 C 为任意常数()这是伯努利方程将原方程改写成故通解为 ，其中 C 为任意常数【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 (I)相应齐次方程的特征方程 2 一 40，特征根 2零不是特征根，方程有特解 y*ax 2bxc ，代入方程得 2a 一 4(ax2bxc) 4x 2 4a4，b0 ，2a 4c0 a1，c由初值 y
8、(0)C 1C 2 ，y(0)2C 12C2 2 因此得特解为 (II)相应齐次方程的特征方程 2320，特征根1一 1， 2一 2由于非齐次项是 excosx；，一 1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y *e x(acosxbsinx)代入原方程比较等式两端 excosx 与 exsinx的系数，可确定出 ，所以非齐次方程的通解为 yC 2exC 2e2x ex(sinx 一 cosx)，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 特征方程 22mn 20，特征根 一 m ，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 由题设
9、等式可得(1 y) ，令x0 即得从而 yy(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘 ，两边积分得 Cln(4x) yC(4x)(4x)ln(4x)令 x0，y2 可确定常数 y( 2ln2)(4x) (4x)ln(4 x) (4x) 2ln2ln(4x)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 代入原方程即得 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx 0xf(u)dusin2x+ 0xf(u)du (在中令 x0，得 00，不必另加条件与同解)在 式中令 x0 可得f(0)0，由 式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x
10、求导，又得 f(x)2cos2xf(x)故求 y f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起当 x1 时，方程 y一 2y2 的两边同乘 e2x 得(ye 2x)2e 2x，积分得通解 yC 1e2x 一 1；而当 x1时，方程 y一 2y0 的通解为 yC 2e2x为保持其在 x1 处的连续性，应使C1e21C 2e2，即 C2C 1 一 e2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得 C11，即所求特解为【知识模块】 高等数学9 【正确答案】
11、先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得 两边对 t 求导得 在前一个方程中令 t0 得 f(0) 1 求 f(t)转化为求解初值问题 这是一阶线性方程，两边乘 由 f(0)1 得C1因此 f(t)(4t 21)e 4t2【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1*y3*e x，y 2*y3*2e xe2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1e x，y 22(y 1*y3*)一(y 2*y3*)e 2x， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4*y 1*y2xe x 因此该非齐次方程的通解是 yC 1
12、exC 2e2xxe x，其中 C1，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 ypy qyf(x) 它的相应特征根是 1一1， 22，于是特征方程是 ( 1)( 一 2)0，即 2 一 一 20 因此方程为 y一 y一 2yf(x) 再将特解 y4*xe x 代入得 (x2)e x(x1)e x2xexf(x)，即 f(x)(1 2x)ex 因此方程为 yy2y(12x)e x【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 这是可降阶类型的(方程不显含 x)令 p ，并以 y 为自变量变换原方程 代入原方程得 由初值得积分得最后得 (0x2)【知识模块】 高等数学12
13、 【正确答案】 因为对任意常数 C，y 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 即存在常数 C，使得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 设凸弧的方程为 yf(x)，因梯形 OAPC 的面积为 1f(x)，故两边对 x 求导，则得 yf(x)所满足的微分方程为 xy一 y一 6x2 一 1 (原方程中令 x0 得 00，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为 对任意常数 C，总有 y(0)1 ，即此曲线族均通过点 A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)0，由此即得 C5，即所求曲线为 y5x6x 21【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 () 列方程，定初
14、值在0，x上侧面积与体积分别为按题意 y(0)2(II) 转化将 式两边求导得 2y(x) (在 中令 x0，得 00，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题 式分离变量得 积分得为解出 y，两边乘将 相加得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (I)列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 而相应的曲边梯形的面积为 0tf(x)dx见图 62按题意(II)转化将方程两边求导，则方程 f2(t)4f(t) 0tf(x)dxf(t) f(t)4 0tf(x)dx1( 中令 x0，等式自然成立，不必另加条件)f(x) 实质上是可导的，再将方程 两边求导，并在中令 t0 得方程 ()求解等价的
15、微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘 (t) 得f(t)e 4t0 ，并由初始条件得 f(t)e 4t，即 f(x)e 4x【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (I)列方程曲线 yy(x) 在 点(x ，y) 处的切线斜率为 ，与原点连线的斜率为 (II)解方程将方程改写为 ydyxdx0，即 d(x 2y 2) 0于是通解为 x2y 2C(C0 为 常数)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由曲率半径公式知，曲线 yy(x)满足 解方程：积分得 又由由 和式得 (xC 1)2(y C2)2a 2，即曲线是圆周若 ，则同样可证【知识模块】 高等数学18 【正确答
16、案】 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s，向下为正s?时，v( 速度) 0(I) 受力分析弹性恢复力 fks 由条件知 gkk24g f24gs，g 为重力加速度重力 mg3g()加速度表示由题目的需要，加速度 ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 3g 一 24gs初始条件：t0 时 s(0) 0，()求解初值问题 分离变量得vdv(g 一 8gs)ds gs 一 4gs2C由 v(0)0 C0 gs一 4gs2(V)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v0解 gs 一4gs20 得 s 0，s 因此， s 为所求【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 t
17、 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg，任取t ，t dt ，这段时间内肥皂含量的减少量抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得 Q(t)因此，当 tT30ln5 时肥皂水中只有 1 kg 肥皂【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 规定 A 出发的时刻 t01 列方程.t 时刻 A 位于(0，1vt).t 时刻B 位于点 (x(t)，y(t) ，B 点的速度 (一 x，1vty)同向(见图 63)又 B 点的速度大小为讲一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将式两边对 x 求导得 由 式将它代入得yy(x)满足的微分方程为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 1，1，cos，(2)(2)422154 (一 32)(一 32)9 一 6641312 7， (2)(一3 2)634 2一 4【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 x，y，z，由 14 7 226，3，2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 记，则面积 Ssin下求 ：由 0因此 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 设 0 0 一 0 同理，由 0 0 设 ，则()，( )0，( ) 0 ， 均与 共线 0【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 先求 L 的方向向量 再求一交点令 x0 得因此直线 L 的方程为【知识模块】 高等数学
