1、2011 年广东专插本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限运算中，正确的是 ( )（A）（B）（C）（D）2 若函数 在 =0 处连续，则 a= ( )（A）-ln2（B） ln2（C） 2（D） 23 已知 f()的二阶导数存在，且 f(2)=1，f (2)=0，则 =2 是函数 F()=(-2)2f()的 ( )（A）极大值点（B）最小值点（C）极小值点（D）最大值点4 已知 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 已知 ，则 fy(0，0)= ( )（A）-1（B） 0（C） 1（D）2二、填空题6 当 0 时， 是
2、等价无穷小，则常数 k=_。7 设 =_。8 已知 f()在 (-，+)内连续，且 f ，则 f()=_。9 已知二元函数 =_。10 设平面区域 D 由直线 y=，y=2 及 =1 所围成，则二重积分 =_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 计算 。12 已知函数 f()的 n-2 阶导数 f(n-2)()= ，求 f()的 n 阶导数。13 求曲线 f()=-arctank(k0)的凹凸区间和拐点。14 计算不定积分e sind。15 计算定积分 。16 求微分方程 y +2y-8y=0 满足初始条件 的特解。17 已知隐函数 z=f(，y) 由方程 e-y=yz+2y=1 所确
3、定，求 。18 已知直角坐标系下二重积分 ，试用极坐标法计算二重积分。四、综合题18 过坐标原点作曲线 y=e的切线 l，切线 l 与曲线 y=e及 y 轴围成的平面图形记为G。 求：19 切线 l 的方程；20 G 的面积；21 G 绕 轴旋转所得旋转体体积。21 若定义在区间(0，)的可导函数 y=f()满足 .y=(.cot-1).y，且 ，求：22 函数 y=f()的表达式；23 证明：函数 y=f()在区间(0，)内单调递减。2011 年广东专插本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B3 【正确
4、答案】 C4 【正确答案】 D5 【正确答案】 A二、填空题6 【正确答案】 87 【正确答案】 -18 【正确答案】 2f()9 【正确答案】 010 【正确答案】 1三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 函数 f()=-arctank 的定义域为(-，+)；令 f ()=0，解得 =0，列表讨论如下(k0)：拐点是(0，0)，f()征(-，0)是凹的，在(0，+)是凸的。14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 微分方程的特征方程为：r 2+2r-8=0；解得：r 1=-4，r 2=2， 微分方程的通解为：y=C
5、 1e-4+C2e2。 y =-4C1e-4+2C2e， 有 y =0 =C1+C2=5， y =0=-4C1+2C2=-2，解之得： C1=2，C 2=3， 故特解为：y=2e -4+3e2。17 【正确答案】 设 F(，y，z)=e -z-yz+2y-1，则 F =-ze-y+2y，F y=-zyz-1+2，F z=-e-z-yzlny，18 【正确答案】 画出积分区域 D，可知积分区域是在第一象限的四分之一圆，则：四、综合题19 【正确答案】 设切点的坐标为( 0，y 0)，则 y0=e0，y =e， 切线 l 的方程为：y-y0=e0(-0)，即 y-e0=e0(-0)， 又因该切线经过原点，故 0-e0=e0(0-0)，解之得0=1， 切点为(1，e)，故切线方程为 y=e。20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 由 z.y=(.cot-1).y 可得 ， 两边积分得：lny=lnsin-ln+C2，化简得 ， 又 ，解之得 C=1， 函数 y=f()的表达式为 。23 【正确答案】 ，设 g()=cos-sin，g ()=cos-sin-cos=-sin，因 sin 在(0，)区间内恒大于 0，故 g() 在区间(0，)内恒为负，函数 y=f()在区间(0，)内单调递减。
