1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知 f(0)=0，f(0)=1 ，则 =( )。（A）1（B） 0（C）一 1（D）不存在2 若 f(x)dx=ln(x+ )+C，则 f(x)等于( )。（A）（B）（C）（D）3 当 x0 时， 为 x 的( ) 。（A）高阶无穷小量（B）低阶无穷小量（C）同阶，但不等价无穷小量（D）等价无穷小量4 方程 x2+y2=4x 在空间直角坐标系中表示 ( )。（A）圆柱面（B）点（C）圆（D）旋转抛物面5 若广义积分 dx 收敛，则 P 应满足( )。（A）01（C） P0)江苏
2、省专转本（高等数学）模拟试卷 60 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 该式利用洛必达法则， = = =1，所以选 A 项。2 【正确答案】 C【试题解析】 对等式两边求导得：f(x)= ，则 f(x)= 。3 【正确答案】 D【试题解析】 = =1。根据等价无穷小量的定义，故选 D 项。4 【正确答案】 A【试题解析】 x 2+y2=4x x2 一 4x+4+y2=4 (x 一 2)2+y2=22，在平面坐标系中，这表示一个圆，而在空间坐标系中，这表示母线平行于 z 轴的圆柱面，所以选 A 项。5 【正确答案】 B【试题解析】
3、 当 p1 时， 收敛；当 p1 时， 发散。6 【正确答案】 A【试题解析】 如图，根据题中条件画出积分域，积分域关于 y 轴对称，又 f(一 x，y)=一 f(x，y)，即被积函数是关于 x 的奇函数，由积分对称性原因f(x，y)dxdy=0 。二、填空题7 【正确答案】 ln2【试题解析】 由连续的定义，=ek=f(0)=2，所以k=ln2。8 【正确答案】 0【试题解析】 (1)f(x) 为偶函数， f(一 x)=f(x)。(2)f(x)可导，一 f(一 x)=f(x)故一 f(0)=f(0)，2f(0)=0 即 f(0)=0。9 【正确答案】 【试题解析】 令 10f(x)dx=A，
4、 10f(x)dx= 102AdxA= 2A，A=10 【正确答案】 【试题解析】 ab，a.b=0 ，2m+3m 一 12=0，故 m= 。11 【正确答案】 【试题解析】 d=12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式= =14 【正确答案】 代入 x=0，得 y=0，即 y(0)=1原方程两边同时关于 x 求导得一y+ey+xeyy=0，代入 y(0)=1，得 y(0)=e，即 =e 方程两边继续关于 x 求导得一 y+eyy+(ey+xeyy)y+xeyy=0，代入 y(0)=1、y(0)=e，得 y(0)=2e2，即=2e2。15
5、 【正确答案】 令 =t，则 x=t2，于是arctan dx=arctantdt2=t2arctant 一dt=t2arctant 一 dt=t2arctantt+arctant+C=xarctan +arctan+C=(x+1)arctan +C，本题还可以令 arctan =t16 【正确答案】 原式= x2dsin2x= = xsin2xdx=xdcos2x= = = =17 【正确答案】 由已知可得平面 和直线 L 的法向量和方向向量分别为 n0=(2，一 1，1) ，s 0=(1，3，1)，取所求直线的方向向量为 s=s0n0= =(4，1，一7)，所以所求直线的方程为18 【正确
6、答案】 + .cosx+ .0+ .ex+y= cosx+ex+y =cosx .0+.(siny)+ .ex+y+ex+y +ex+y .0+ .(siny)+ .ex+y= sinycosx+ex+y cosx+ex+y -ex+y siny+e2(x+y)19 【正确答案】 因为 = ，所以 R=3，则一 3(收敛一莱布尼茨定理)；当 x=5 时，(发散一调和级数)，所以收敛区间为一 1，5)。20 【正确答案】 本题利用极坐标，令 则 r22rcos，即 r2cos，由x2+y22x，得 (x 一 1)2+y21，则区域 D 如图 显然区域 D 是关于x 轴对称的，所以 yd=0，则
7、(x+y)d= xd= r2cosdr= cosd= cos4d= cos4d=四、综合题21 【正确答案】 g(x)= = 1， g(x)= =一1，g(一 1)=一 1，g(x)在 x=一 1 处连续 g(x)= = 一 2，=2，g(8)=2，g(x)在 x=8 处连续，g(一 1 一 0)=g(一 1+0)=x= 一 1 是 g(x)的不可导点，g(8 一0)= 1，g(8+0)=，x=8 是 g(x)的可导点，于是知 g(x)在(一，+)内连续，没有间断点；x= 一 1 是 g(x)的不可导点。22 【正确答案】 设销售量为 x 百台，c(x)=2+x，则利润函数 L(x)=R(x)
8、一 c(x)=所以 L(x)= 由L(x)=0，得 x=3。计算 L(0)= 一 2，L(3)=9 一 一 2=25，L(4)=2，L(+)= 一，由此可得：L max=25 一 L(3)，所以每年生产 3 百台时总利润最大。23 【正确答案】 y=4xx 2，y=4 2x 要切线平行于 x 轴，令 y=42x=0，得x=2，代入 y=4xx2 得 y=4， 故抛物线 y=4xx2 上 (2，4)处的切线平行于 x 轴，该切线方程为 y=4。24 【正确答案】 由抛物线与其水平切线 y=4 及 y 轴围成的平面图形面积为A=204(4xx2)dx=(4x2x2+ x3)|40= ，或 A=40(2 )0dy=2y+|40=25 【正确答案】 该平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积为 Vx=2042 一(4xx 2)2dx= 。该平面图形绕 y 轴旋转所成的旋转体体积为 Vy=402 一 2dy=五、证明题26 【正确答案】 方程两端 y 对 x 求导有 =0 所以 y= 过点(x，y)的切线方程为 Y 一 y= (Xx)，这里(X，Y)为切线上点的流动坐标。令X=0 得切线在 y 轴上的截距为 Y=y+ ，令 Y=0 得切线在 x 轴上的截距为 X=x+，所以两截距和为 x+2 +y=( + )2=a，故得证。
